PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút Câu (4 điểm) x x 2 x2 2x 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2n A 2 2 1.2 2.3 3.4 n n 1 b) Rút gọn biểu thức: Câu (4 điểm) 1 yz xz xy A x y z a) Cho x y z Tính 2 b) Tìm tất số x, y , z nguyên thỏa mãn: x y z xy y z Câu (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y thì: A x y x y x 3y x y y4 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vuông AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) a b c a b2 c a , b , c Cho ba số đôi khác thỏa mãn: a2 b2 c2 P a bc b ac c 2ab Tính giá trị biểu thức : ĐÁP ÁN Câu a) x x x2 x 2 x2 x x2 x x2 x x2 x x x 1 x 1 n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 Ta có: n n 2 B 2 n 1 n 1 2n b) Câu a) Ta có a b c : a3 b3 c3 a b 3ab a b c c 3ab c c 3abc (vì a b c a b c) 1 1 1 0 x y z xyz Theo giả thiết x y z yz xz xy xyz xyz xyz A x y z x y z 1 1 xyz xyz 3 x y z xyz 2 b) x y z xy y z y2 3 x xy z z 1 y y 4 y 2 x z 1 y 2 Có giá trị x, y, z 1;2;1 Câu 4 a) Ta có: A x y x y x y x y y x xy y x xy y y 2 Đặt x xy y t t ¢ A t y t y y t y y t x 5xy y 2 2 Vì x, y , z ¢ nên x ¢ ,5 xy ¢ ,5 y ¢ x xy y ¢ (dfcm) Vậy A số phương b) Dễ thấy a a a a 1 a 1 tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu: A a1 a2 a2016 a13 a23 a2016 a1 a2 a2016 a13 a1 a23 a2 a2016 a2016 Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu · · a) AME CMB(cgc ) EAM BCM 0 · · · · · Mà BCM MBC 90 EAM MBC 90 AHB 90 AH BC b) Gọi O giao điểm AC BD HO 1 AC DM 2 AHC vng H có HO đường trung tuyến · DHM vuông H suy DHM 900 · Chứng minh tương tự: MHF 90 · · Suy DHM MHF 180 , điểm D, H, F thẳng hàng c) Gọi I giao điểm AC DF · Ta có: DMF 90 MF DM mà IO DM IO / / MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB( K AB) IK đường trung bình hình thang ABFD AD BF AM BM AB IK 2 (không đổi) Do A, B cố định nên K cố định , mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu a b c a b c ab ac bc a2 a2 a2 a 2bc a ab ac bc a b a c b2 b2 ; b 2ac b a b c c2 c2 c 2ac c a c b Tương tự: a2 b2 c2 P a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 a b a c b a b c c a c b a b a c b c a b a c b c 1