UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2015 – 2016 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,0 điểm) 5 x Cho biểu thức A = x x 1 x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A < c) Tìm số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – A = Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 4x b) x3 – 5x2 + 8x – Giải phương trình sau: a) x 3x b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = Câu (3,0 điểm) Cho số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a + b + c = Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c x y x2 y Cho x > y > Chứng minh: x y x2 y Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia đối tia HB lấy điểm D cho HD = HA Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE Tính số đo góc BEC Gọi M trung điểm đoạn BE Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH HC Câu (2,0 điểm) Cho số a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 với a, b, c -Hết Cán coi thi không giải thích thêm UBND HUYỆN NHO QUAN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2015 - 2016 Đáp án Điểm a (1,25 điểm) ÑKXĐ: x 1; x -2; x 5 x 0,25 A= x x 1 x x x x x2 x 5 x x 1 x x ( x 2)( x 3) 2( x 3) ( x 2) (5 x) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 1 2x x x x 1 3 x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1,0 điểm) A< Câu (4 điểm) 3 (vì -3 < 0) x >1 Đối chiếu với điều kiện ta có x > x thỏa mãn đầu c (1,75 điểm) Ta có: A2 – A = A2 – A – = Đặt A = m (ĐK: m 0) Ta có m2 – m – = (m + 2) (m – 3) = m 2(loai ) m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Với m = ta có A = 3 3 3 x 1 x 1 x 1 x x 1 = x 1 x Mà x số tự nhiên x ; x -2; x nên x = 2; x = thỏa ` mãn Vậy x 2;0 thỏa mãn đầu (2 điểm) a) x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x – 2)(x+2) b) x3 – 5x2 + 8x – = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) = (x – 1)(x – 2)2 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (3 điểm) a) x 3x 0,2 0,2 x 3x ĐK: – 3x x Câu (5 điểm) x 3x x 3x x 11 2 x 7 0,25 0,25 0,25 11 x x (loai ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 11 b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1 (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + = (x2 – 5x +1 – 1)2 = (x2 – 5x)2 = x2 – 5x = x(x – 5) = x x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = (1,5 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (1) Mà (a – b)2 với a,b (b – c)2 với b,c (c – a)2 với a,c ( a b) Nên (1) (b c) (c a ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3 điểm) a=b=c Lại có a + b + c = a = b = c = M = a2016+ 2015b2015+ 2020c = + 2015.1 +2020.1 = 4036 (1,5điểm) Với x > 0; y > Ta có x + y Áp dụng tính chất phân thức ta có: x y ( x y )( x y ) x y ( x y)2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x2 y2 (1) x xy y Mặt khác : x > ; y > nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x y x y (2) 2 x xy y x y2 2 0,25 2 x y x2 y Từ (1) (2) ta có: (đpcm) x y x2 y Vẽ xác hình ý a a) (1,25 điểm) Xét ABC DEC Có BAC = EDC = 900 C chung ABC đồng dạng với DEC (g.g) 0,25 CA CD CB CE CD.CB = CA.CE (Đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (2,0 điểm) Xét ADC BEC có: Câu (6 điểm) CD CA (Chứng minh trên) CE CB C chung ADC đồng dạng với BEC (c.g.c) BEC = ADC ( cặp góc tương ứng) (1) Lại có: HA = HD (gt) AHD vuông cân H ADH = 450 ADC = 1350 (2) Từ (1) (2) BEC = 1350 c) (2,5 điểm) Ta có : BEC = 1350 (cm ý b) Mà BEC + BEA =1800 BEA = 450 ABE vuông cân A Mà M trung điểm BE nên tia AM tia phân giác góc BAC GB AB (t/c đường phân giác tam giác) (3) GC AC Mà ABC đồng dạng với DEC (cm ý a) AB ED (4) AC DC Suy ra: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 25 0,25 25 0,5 0,25 0,25 0,25 Lại có ED // AH (Cùng vng góc với BC) AH ED (hệ định lí Talet) HC DC 0,25 Mặt khác AH = HD (gt) AH ED HD = (5) HC DC HC GB HD GB HD GB HD Từ (3), (4) (5) GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,25 0,5 (1,0 điểm) 1 Ta có: a với a a2 a a2 Tương tự: với a a với a (1) b2 b với b (2) c2 c với c (3) 0,25 Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta : a b c 3 Vì a b c nên: P = a2 b2 c2 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P đạt a=b=c= a2 b2 c2 Câu (2 điểm) 0,25 0,25 0,25 2.(1 điểm) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 = (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a + ab + 2ac + bc) với a,b,c (đpcm) Lưu ý chấm bài: - 0,25 0,25 0,25 0,25 Trên sơ lược bước giải,bài giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Câu 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm