177 đề HSG toán 8 yên mỗ 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) (ĐỀ CHÍNH THỨC) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) x    2x b)   5x   x        Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P  x    x   : x    với x   0;1;2 x 1  x 1   a) Rút gọn P b) Tìm x để P  x   Câu (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x y thỏa mãn x  y  xy  Tính giá trị biểu thức A   x  1  y     x    y  1 b) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn abc  a  b  c 1    Tính giá a b c 1   a b2 c2 Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD c) Tứ giác BEDF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c abc Chứng minh trị biểu thức B   1 1 a  b  c 3    a b c b) Tìm nghiệm nguyên  x; y  phương trình x  y  y  1  y    y  3 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Câu Đáp án a) (2,0 điểm) Nếu x   hay x  x   x  Nếu x   hay x  x    x Câu * TH1: Với x  , PT cho trở thành x    2x  x  (t/m) 10  x   2x  x  x  * TH2: Với , PT cho trở thành (loại) (4,0 điểm Vậy PT cho có nghiệm x  ) b) (2,0 điểm) Vì x   với x nên BPT cho tương đương với  5x  1  5x   5x   x  Vậy nghiệm BPT ban đầu x  5 a) (2,0 điểm)    x  4x  x  2x  P x   x   : : x    x 1  x 1 x 1 x 1  Câu x  4x   x   x2 P x    2 x  2x x  x  2 x (4,0 điểm b) (2,0 điểm) Với điều kiện x   0;1;2 ta có ) x2 2 P x 1  1  1 1   x  x x x Vậy với x  P  x   Câu a) (1,5 điểm) A   x  1  y     x    y  1  x y  2x  y   xy  x  2y  (3,0 2 điểm A  xy  x  y    x  y    x  y   ) A  xy  x  y    x  y   2xy    x  y   Thay số, ta A  40 b) (1,5 điểm) 1 1 1 1  1 1    2    4   2    a b c a b c a b c  ab bc ca  Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 1,0 1 1 1  a bc             2.1  a b c abc  ab bc ca  Vậy B = B 1,0 K D C E F A B H a) (2,0 điểm) Ta có BE DF vng góc với AC Do BE // DF (1) 0,5 · · Xét hai tam giác vng AFD CEB có AD = BC DAF nên  BCE 1,0 Suy BE = DF (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BEDF hình bình hành 0,5 b) (2,0 điểm) Câu Ta có · · · · · · nên suy CBH  CBA  180o ; CDK  CDA  180o mà CBA  CDA 1,0 · · CBH  CDK (6,0 · · nên đồng dạng với  CDK điểm Xét hai tam giác vuông CHB CKD có CBH 1,0 CH CB )   CH.CD  CB.CK Do ta có CK CD c) (2,0 điểm) Xét hai tam giác vuông ACH ABE có góc A chung nên đồng dạng với AB AE   AB.AH  AC.AE Suy AC AH 1,0 Xét hai tam giác vuông AKC AFD có góc A chung nên đồng dạng với AD AF   AD.AK  AC.AF Suy AC AK Vậy AB.AH  AD.AK  AC  AE  AF  Mặt khác theo cmt AF = EC Do ta có 1,0 AB.AH  AD.AK  AC  AE  EC   AC.AC  AC (đpcm) Câu a  b  c 3     a  b  c 3 bc  ac  ab      abc a b c   0,5 (3,0  bc  ac  ab  điểm  a  b  c 3 a  b  c    a  b  c  3 bc  ac  ab  0,5 )  a  b  c bc  ac  ab    a  b  c 2 bc  ac  ab  0.5   a  b    b  c    c  a  0 2 x  y  y  1  y    y    x  y  y    y  1  y   0,25  x   y  3y   y  3y   Đặt t  y  3y  ta x   t  1  t  1  x  t   x  t  1   x  t   x  t   1 Vì x, y số nguyên nên x  t x  t số nguyên Do ta có hai trường hợp sau: * TH1: x  t  x  t  1 Suy x  t  1 2 Với t  1 y  3y   1  y  3y     y  1  y     y  1 y  2 * TH2: x  t  1 x  t  Suy x  t  2 Với t  y  3y    y  3y   y  y     y  y  3 Vậy PT cho có nghiệm nguyên  x; y   0; 3 ,  0; 2  ,  0; 1 ,  0;0  0,5 0,25 0,25 0,5 Hết