124 đề HSG toán 8 xuân phú 2013 2014

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC : 2013 – 2014 Môn thi : TỐN Câu (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức a2  b  c   b2  c  a   c  a  b  thành nhân tử 3 b) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn  a  b    b  c    c  a  Tính giá trị biểu thức A  a  b  b  c  c  a Câu (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y   xy x  x  6 x   72       b) Giải phương trình: Câu (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P   x  2012    x  2013 b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: 1    x2  x y  y z  z 2 Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh : EA.EB  ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM BD  CM CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH  BC  H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH , CH Chứng minh CQ  PD ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   a  b  c   b  c  a   c  b  c  c  a    b  c   a2  c2    c  a   b2  c2    b  c   a  c   a  c    c  a   b  c   b  c    b  c  a  c  a  c  b  c   b  c  a  c  a  b b) Đặt a  b  x; b  c  y; c  a  z  x  y  z   z    x  y  Ta có: x3  y  z  210  x  y   x  y   210  3 xy  x  y   210  xyz  70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz  70   2   5  nên x, y, z   2; 5;7  A  a  b  b  c  c  a  14 Câu 2 x  y   x  y  xy   xy  xy  xy    a) Ta có: x  y   x  y  2 xy   xy  2 xy  xy  3   Lại có: Suy 3  xy  Mà x, y  ¢  xy   3; 2  1;0;1  x, y    2;1 ;  1; 2  ;  2; 1 ;  1;2  ;  1;1  nghiệm Lần lượt thử ta phương trình b) Đặt x   t Ta có:  t  1  t  1 t  72   t  1 t  72  t  t  72   x  t   0(VN ) t  3    t  3  x   t    Câu a) Ta có: 2 P   x  2012    x  2013  x  4024 x  4048144  x  4026 x  4052169 1   x  x  8100313   x    8100312,5  8100312,5 x 2  MinP  8100312,5  x   Vậy 1 1 1 P      x  x y  y z  z x  x  1 y  y  1 z  z  1 b) Đặt 1 1  1 1 1 1                 x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1 1 1 1 1        Áp dụng BĐT a b c a  b  c a  b  a b  với a, b, c dương , dấu xảy  a  b  c  1 1  1 1 1     1;    1;   1  x 1  x  y 1  y  z 1  z  Ta có: Bởi 1 1  1  1 1 1 1  P                     y z   x y z   x 1 y 1 z 1  x y z   x 1 1 3 9 3           (dfcm) x y z 4 x yz 4 Câu EB ED    EA.EB  ED.EC  EBD :  ECA g  g   EC EA a) Chứng minh b) Kẻ MI  BC  I  BC  Ta có : BIM : BDC  g.g  BM BI    BM BD  BI BC (1) BC BD CM CI ACB : ICM  g  g     CM CA  CI BC (2) BC CA Tương tự: BM BD  CM CA  BI BC  CI BC  BC. BI  CI   BC Từ (1) (2) suy (Không đổi) c) BHD : DHC ( g g ) BH BD BP BD BP BD       DH DC DQ DC DQ DC · · Chứng minh được: DPB : CQD  g.g   BDP  DCQ 0 · · · · Mà BDP  PDC  90  DCQ  PDC  90  CQ  PD