124 đề hsg toán 8 xuân phú 2013 2014

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC : 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN Câu (2,5 điểm) 2 a b  c  b c  a  c      a  b  thành nhân tử a) Phân tích đa thức 3 b) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn  a  b    b  c    c  a  Tính giá trị biểu thức A  a  b  b  c  c  a Câu (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y 3  xy Giải phương trình:  x    x    x   b) Câu (2,5 điểm) 72 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x  2012    x  2013 b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Chứng minh rằng: 1    x x y y z z 2 Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh : EA.EB ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM BD  CM CA có giá trị khơng đổi c) Kẻ DH  BC  H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH , CH Chứng minh CQ  PD ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: a  b  c   b  c  a   c  a  b  a  b  c   b  c  a   c  b  c  c  a   b  c   a  c    c  a   b  c   b  c   a  c   a  c    c  a   b  c   b  c   b  c   a  c   a  c  b  c   b  c   a  c   a  b  b) Đặt a  b x; b  c  y; c  a z  x  y  z 0  z   x  y  Ta có: x3  y  z 210  x  y   x  y  210   xy  x  y  210  xyz 70 Do x, y , z số nguyên có tổng xyz 70       nên x, y, z    2;  5;7  A  a  b  b  c  c  a 14 Câu 2 2 x  y   x  y 2 xy   xy 2 xy  xy 1   a) Ta có: x  y 0  x  y  xy   xy  xy  xy    Lại có: Suy  xy 1 Mà x, y    xy    3;   1;0;1 x, y      2;1 ;  1;   ;  2;  1 ;   1;2  ;  1;1  Lần lượt thử ta  nghiệm phương trình b) Đặt x  t Ta có:  t  1  t  1 t 72   t  1 t 72  t  t  72 0   x   t  0(VN )  t 3       t   x   t  0  2 Câu a) Ta có: 2 P  x  2012    x  2013 x  4024 x  4048144  x  4026 x  4052169 1  2 x  x  8100313 2  x    8100312,5 8100312,5 x 2  MinP 8100312,5  x  Vậy 1 1 1 P      x  x y  y z  z x  x  1 y  y  1 z  z  1 b) Đặt 1 1  1 1 1 1                 x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1  1  1 1        Áp dụng BĐT a b c a  b  c a  b  a b  với a, b, c dương , dấu xảy  a b c 1 1  1 1  1 1     1 ;    1 ;    1 Ta có: x   x  y   y  z   z  Bởi  1 1  1  1 1  1  P                     1 y z   x y z   x 1 y 1 z 1   x y z   x  1 1 3 9 3            ( dfcm)  x y z 4 xyz 4 Câu E A D M Q B P I H C EB ED    EA.EB ED.EC  EBD   ECA g  g   EC EA a) Chứng minh b) Kẻ MI  BC  I  BC  Ta có : BIM BDC  g.g  BM BI    BM BD BI BC (1) BC BD CM CI ACB ICM  g  g     CM CA CI BC (2) BC CA Tương tự: BM BD  CM CA  BI BC  CI BC  BC BI  CI  BC   Từ (1) (2) suy (Không đổi) c) BHD DHC ( g g ) BH BD BP BD BP BD       DH DC DQ DC DQ DC   Chứng minh được: DPB CQD  g.g   BDP DCQ 0     Mà BDP  PDC 90  DCQ  PDC 90  CQ  PD