PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) 2 x 1 x P x 1 : x 3x x 3x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình : x x x 30 b) Giải bất phương trình sau: x 1 x 1 2x x 1 3 x x2 Q x x2 c) Cho biết x x Hãy tìm giá trị biểu thức Câu (5,0 điểm) 2 a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x y 8xy y x a b c M30 b) Cho a, b, c ¢ thỏa mãn a b c Chứng minh: 1 1 a b c a b c c) Chứng minh b c a a b c , a, b, c số thực khơng nhỏ Câu (4,5điểm) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt tai H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE CH CF BC AD.HD BC c) d) Gọi I, K, Q, R chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD CE BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ….hết… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1 x 1 2 2x 2 x 2 x P ( x 1) 2 x 1 3x x 3x x 3x 3x x 1 x 1 Ta có: 2x P x 1 Vậy P 2 ¢ x 1 U (2) 1; 2 x 1 b) Ta có x 2;0;3; 1 x 2;3 Từ suy , kết hợp với điều kiện 2x 2x x 1 1 1 0 x 1 x 1 x 1 c) Mà x x nên x x x x x 1 Kết hợp với ĐKXĐ 1 x x P 1 Câu a) Ta có : x x3 x x 30 x 3 x x 5 x 2 x Vậy S 2;3;5 x 1 x 1 2x x x x x x x 7 x 3 b) 7 S x / x Vậy tập nghiệm bất phương trình : x2 x x x 0, x c) Từ x x 1 25 21 x 1 x x 1 1 x x x 4 x4 x2 1 1 21 x2 x 1 x x x Lại có : x2 Q x x 21 Suy Câu a )5 x y xy y x 25 x 25 y 40 xy 10 y 10 x 10 x y 1 y 1 2 2 Do x y 1 y 1 với x, y Nên x y 1 y 1 Suy x 1; y 1 b) Ta có: a a a a 1 a 1 a a 1 a a a 1 a a 1 a a 1 a a 1 Do a a 1 a a 1 a tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 5, chia hết cho 30 Lại có a 1 a a 1 Từ suy Tương tự b b Từ suy Mà a a a abc chia hết chia hết cho 30 chia hết cho 30 chia hết cho 30 5 a 1 a a 1 c5 c chia hết cho 30 b c a b c a a b5 b c c nên 5 a b c 5 chia hết cho 30 chia hết cho 30 1 1 c ) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 abc abc 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 a 2b c abc a b c ab bc ca a 2b 2c a b c a 2b b 2c c a a 2b b c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a 2 2 a c b 1 b a c 1 c b a 1 2 2 (đúng với a, b , c ) Câu a) Ta có: AEB : AFC ( g g ) Từ suy AE AB AF AC AEF : ABC (c.g.c) BD BH BH BE BC BD (1) BE BC b) CD CH CDH : CFB ( g g ) CH CF BC CD (2) CF BC BH BE CH CF BC.BD BC.CD BC BDH : BEC ( g.g ) Từ (1) (2) suy c) Chứng minh DBH : DAC ( g g ) DC DB DC.DB Lại có BC DH DB DH DA DC DB DC DA AD.HD Do đó: BC d) Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC , EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta có: AI AE AK IK / / DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / / DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / / DF (5) CD CA CF * Từ (3) (4) (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng Câu Vẽ hình bình hành Ta có : ABMC AB CM (1) µ 1C µ CBM · B 1 2 nên BO tia phân giác Tương tự CO tia phân giác Do MO tia phân giác · CBM · BCM · BMC Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng Ta có : 1· ¶ BMC · ¶ M BAC K 1 2 CK CM (2) Từ (1) (2) suy CK AB nên tam giác KMC cân C