173 đề HSG toán 8 hoằng hóa 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) 2  x 1  x  P    x  1 :  x  3x x   3x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm x  ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P  Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình : x  x  x  30  b) Giải bất phương trình sau: x 1  x 1 2x  x   1 3 x x2 Q  x  x2  c) Cho biết x  x  Hãy tìm giá trị biểu thức Câu (5,0 điểm) 2 a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x  y  8xy  y  x   a  b  c  M30 b) Cho a, b, c  ¢ thỏa mãn a  b  c  Chứng minh:    1    1   a   b  c   a  b  c  c) Chứng minh  b   c  a   a   b   c  , a, b, c số thực khơng nhỏ Câu (4,5điểm) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt tai H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE  CH CF  BC AD.HD  BC c) d) Gọi I, K, Q, R chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD  CE  BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ….hết… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1 x 1 2 2x 2  x 2  x P   ( x  1)      2  x 1  3x x  3x  x   3x 3x  x 1 x 1 Ta có: 2x P x 1 Vậy P  2  ¢  x  1 U (2)   1; 2 x 1 b) Ta có x   2;0;3; 1 x   2;3 Từ suy , kết hợp với điều kiện 2x 2x x 1 1 1   0 x 1 x 1 x 1 c) Mà x   x  nên x   x x    x  x  1 Kết hợp với ĐKXĐ 1  x  x  P 1 Câu a) Ta có : x  x3  x  x  30    x  3  x    x  5    x  2  x  Vậy S   2;3;5 x 1  x 1 2x  x     x   x   x   x   x  7  x   3 b) 7   S  x / x     Vậy tập nghiệm bất phương trình : x2  x  x   x  0,  x c) Từ x  x   1 25 21  x  1   x     x   1  1  x x  x 4 x4  x2  1 1 21   x2     x   1  x x x  Lại có : x2 Q  x  x  21 Suy Câu a )5 x  y  xy  y  x    25 x  25 y  40 xy  10 y  10 x  10    x  y  1   y  1  2 2 Do  x  y  1   y  1  với x, y Nên  x  y  1   y  1  Suy x  1; y  1 b) Ta có: a  a  a  a  1  a  1  a  a  1  a      a    a  1 a  a  1  a     a  1 a  a  1 Do  a    a  1 a  a  1  a   tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 5, chia hết cho 30 Lại có  a  1 a  a  1 Từ suy Tương tự b b Từ suy Mà a a a abc  chia hết chia hết cho 30 chia hết cho 30 chia hết cho 30 5  a  1 a  a  1 c5  c chia hết cho 30  b  c    a  b  c    a  a    b5  b    c  c  nên 5 a b c 5 chia hết cho 30 chia hết cho 30   1    1  c )  a  b  c   a  b  c   b  c  a  a  b  c   ab  1  bc  1  ca  1  a   1  b  1  c  1 abc abc 2   ab  1  bc  1  ca  1   a  1  b  1  c  1  a 2b c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b c  c a   2abc  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a  2 2   a  c   b  1   b  a   c  1   c  b   a  1  2 2 (đúng với a, b , c  ) Câu a) Ta có: AEB : AFC ( g g )  Từ suy AE AB  AF AC AEF : ABC (c.g.c) BD BH   BH BE  BC BD (1) BE BC b) CD CH CDH : CFB ( g g )    CH CF  BC CD (2) CF BC BH BE  CH CF  BC.BD  BC.CD  BC BDH : BEC ( g.g )  Từ (1) (2) suy c) Chứng minh DBH : DAC ( g g )   DC  DB  DC.DB  Lại có  BC DH DB   DH DA  DC DB DC DA AD.HD  Do đó: BC d) Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC , EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta có: AI AE AK    IK / / DF (3) AF AC AD BF BH BD *    IR / / DF (4) BI BE BR CR CE CQ *    RQ / / DF (5) CD CA CF * Từ (3) (4) (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng Câu Vẽ hình bình hành Ta có : ABMC  AB  CM (1) µ  1C µ  CBM · B 1 2 nên BO tia phân giác Tương tự CO tia phân giác Do MO tia phân giác · CBM · BCM · BMC Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng Ta có : 1· ¶  BMC · ¶ M  BAC K 1 2  CK  CM (2) Từ (1) (2) suy CK  AB nên tam giác KMC cân C