Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀNG HÓA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để c) Tìm các giá trị của[.]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HỒNG HĨA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) P x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tìm giá trị x để c) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên 1 2 4 x , y , z x y z xy z 2) Cho số khác thỏa mãn đồng thời 2019 P x y z Tính giá trị biểu thức Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q 3 x x 17 x 2) Giải phương trình 3) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 x 1 x x x 12 24 a b b c c a 0 2 Chứng minh c a b Bài (4,0 điểm) 2 m n ; 1) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 5n n Chứng minh 5m 5n 1 số phương 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x 1 y y 1 AB AC Kẻ đường phân giác AD (D thuộc Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A BC) Kẻ AJ vng góc với BC (J thuộc BC) Từ D kẻ DH , DK vng góc với AB, AC H AB, K AC , BK cắt DH M, CH cắt DK N HM BH 1) Chứng minh AJ JB.JC , MD HA 2) Chứng minh MN / / BC 3) Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng 4) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh AE BF DH 9 ME MF MH Bài (2,0 điểm) 1 2019 x , y , z x y z 1) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu 1 P x y z x y z x y 2z thức 2) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b ab b c bc c a ac b c a 9 b c c a a b ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) P x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 3) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P P x 1 x2 x x x 0 : x2 x 1 x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x : x x 1 x 1 x x 1 x x2 x x 1 x2 x x 1 x 1 x x 1 x x x2 x e) Tìm giá trị x để P x2 x x x x x 0 x x 1(tm) x x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x (tm) P f) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên x x2 1 x x x x P Z 1 x 1 x 1 U 1 1 x 2;0 P Để 1 2 4 4) Cho số x, y , z khác thỏa mãn đồng thời x y z xy z 2019 P x y z Tính giá trị biểu thức 1 1 1 2 4 x y z xy z x y z 1 2 2 2 2 2 0 x y z xy yz xz xy z 2 1 1 1 0 0 xz z yz y z x x z y z 1 x z 0 x y z 0 y z 1 1 1 1 2 z P x y 2 2 2 Thay x y z vào x y z ta 2019 1 Bài (4,0 điểm) 4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q 3 x x 17 x Q 3 x x 17 x 3 x x x x 15 x x x 1 x x 1 5(3 x 1) x 1 x x 5) Giải phương trình x 1 x x x 12 24 x 1 x x x 12 24 x 1 x x 3 x 24 0 x 1 ( x 4) x x 3 24 0 x x x x 24 0 * Đặt t x x , phương trình (*) thành : t 5 t t 1 t 1 24 0 t 24 0 x x 5 x x S 5;0 x x 0 x x 10 x 5; x 0 Vo nghiem Vậy 6) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 a b b c c a 0 2 Chứng minh c a b a ab bc ca a a b a c Hoàn toàn tương tự : b b a b c ; c c a c b a b a b a c b c 1 1 c c a c b c a c b c b c a b c b c ba a c 1 1 a b a c a b a c a c a a b c a c a bc b a 1 1 b b a c b b a c b a b c b a b b c c a 0 2 Vậy c a b Bài (4,0 điểm) 2 m n ; 3) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 5n n Chứng minh 5m 5n 1 số phương 2 Ta có : 4m m 5n n 4m 4n m n n m n 4m 4n 1 n 1 Gọi Từ d UCLN m n; 4m 4n 1 4m 4n 1 m n d 8n 1d 1 n d nd 3 Từ (2) (3) suy 1d d 1 Vậy m n 4m 4n số nguyên tố thỏa mãn Nên chúng số phương 1 4) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x 1 y y 1 x x 1 y y 1 x x x y y 1 x x 2 y y y y x2 x y y3 y y x x y y y 1 y y x x y y 1 y y 1 2 x x y y 1 1 y y 1 1 y y 1 x 0 1 y y 1 y y Nếu Phương trình có tập nghiệm nguyên y 0 y y 0 y y y 0(VN ) 0;0 , 0; 1 y 0 x y y 1 1 (cmt ) 1;0 , 1; 1 y Nếu Phương trình có nghiệm x x 1 x x x 1 x1 Nếu khơng có nghiệm ngun AB AC Kẻ đường phân giác AD (D Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A thuộc BC) Kẻ AJ vng góc với BC (J thuộc BC) Từ D kẻ DH , DK vng góc với AB, AC H AB, K AC , BK cắt DH M, CH cắt DK N A K H F I N C M B D E J HM BH 5) Chứng minh AJ JB.JC , MD HA Ta có B C 90 (vì ABC vng A), CAJ C 90 (vì tam giác AJB vng) B CAJ Xét AJC JBA có : AJB AJC 90 ; CAJ B cmt AJC ∽ JBA( g.g ) AJ JC AJ JB.JC JB AJ Xét tứ giác AKDH có : DHA HAK AKD 90 AKDH hình chữ nhật HM MB DH / / AK DK / / AH HMB ∽ DMK 1 DM MK Nên DK / / AH BH BM DH / / AK 2 HA MK HM BH Từ (1) (2) suy MD HA 6) Chứng minh MN / / BC MB HB ND MN / / BD MN / / BC MK HA NK 7) Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng Xét tứ giác AKDH có A H K 90 AKDH hình chữ nhật mà AD phân giác A AKDH hình vng AK DK DH AH KN KN AH AK KN AK AKN ∽ BAK AKB ANK KA KD AB AB KA AB Mà ANK NAK 90 APK vuông P hay AN BK P Chứng minh tương tự ta có AM CH I trực tâm tam giác AMN AI MN Mà MN / / AC AI MN mà AJ MN A, I , J thẳng hàng 8) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh Đặt AE BF DH 9 ME MF MH S ABD S ; S MBD S1 ; S MAB S ; S MAD S3 S S1 S S3 1 1 S S S AE BF DH S S S S S1 S2 S3 9 ME MF MH S1 S S S1 S S = S1 S S3 Ta có: Bài (2,0 điểm) 1 2019 x , y , z x y z 3) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn 1 P x y z x y z x y 2z biểu thức 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x x y z x.x y.z x x y z 16 x x y z Cmtt : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ; 3 x y z 16 x y y z x y z 16 x y z z Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1 4 2019 x y z x y z x y z 16 x y z 2019 MaxP x y z 2019 Vậy 4) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : P a b ab b c bc c a ac b c a 9 b c c a a b Bất đẳng thức cho tương đương với : a b2 b c c a b c a 3 ab ab bc bc ca ac b c c a a b a b b c c a b c a 3 b a c b a c b c c a a b a a 1 4a b b c c 4c b c b c b c b c ; a a a a Ta có Tương tự : a c a c b a a b a a b b c c b c a 4 b c a c b a b c a c a b a a b b c c b c b c a a 2 2 b c a c b a b c a c a b b c a c a b xy z xz y yz x b ;a ;c 2 Đặt a b x, b c y , a c z a b c xz y x y z yz x b c a c a b 2y 2z 2x a b c 1 x z x y y z 1 b c a c a b y y z z x x 1 x y x z z y 2 y x z x y z x y x y x z x z z y z y 2 2; 2 2; 2 2 y x z x z x y z y z Lại có y x a b c 3 b c a c a b 2 ... 4m 4n 1 n 1 Gọi Từ d UCLN m n; 4m 4n 1 4m 4n 1 m n d 8n 1d 1 n d nd 3 Từ (2) (3) suy 1d d 1 Vậy m n 4m 4n số nguyên tố thỏa... CH I trực tâm tam giác AMN AI MN Mà MN / / AC AI MN mà AJ MN A, I , J thẳng hàng 8) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh Đặt AE BF DH 9 ME MF MH S ABD S ; S