051 đề hsg toán 8 hoàng hóa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀNG HÓA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để c) Tìm các giá trị của[.]

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HỒNG HĨA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) P x2  x  x 1  x2  :     x2  x 1  x x  x2  x  1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tìm giá trị x để c) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên 1   2  4 x , y , z x y z xy z 2) Cho số khác thỏa mãn đồng thời 2019 P  x  y  z  Tính giá trị biểu thức Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q 3 x  x  17 x    2) Giải phương trình 3) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1  x  1  x   x  x  12 24 a b b c c a   0 2 Chứng minh  c  a  b Bài (4,0 điểm) 2 m  n ; 1) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m  m 5n  n Chứng minh   5m  5n  1 số phương 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x   x  1  y   y  1 AB  AC  Kẻ đường phân giác AD (D thuộc Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  BC) Kẻ AJ vng góc với BC (J thuộc BC) Từ D kẻ DH , DK vng góc với AB, AC  H  AB, K  AC  , BK cắt DH M, CH cắt DK N HM BH  1) Chứng minh AJ JB.JC , MD HA 2) Chứng minh MN / / BC 3) Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng 4) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh AE BF DH   9 ME MF MH Bài (2,0 điểm) 1   2019 x , y , z x y z 1) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu 1 P   x  y  z x  y  z x  y  2z thức 2) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh :  a  b ab  b  c  bc  c  a  ac b c   a 9       b c c  a a b  ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) P x2  x  x 1  x2  :     x2  x 1  x x  x2  x  3) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P P  x 1 x2  x  x   x 0  :      x2  x 1  x x  x  x   x 1  x  x  1  x  1  x  1  x    : x  x  1  x  1 x  x  1 x x2   x x 1 x2  x  x  1  x  1 x  x  1 x   x   x2 x e) Tìm giá trị x để P x2     x  x   x  x  x  0 x  x  1(tm)  x  x  1   x  1 0   x  1  x  1 0    x  (tm)  P  f) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên x x2  1  x   x x x P  Z  1 x  1   x  1  U  1  1  x   2;0 P Để 1   2  4 4) Cho số x, y , z khác thỏa mãn đồng thời x y z xy z 2019 P  x  y  z  Tính giá trị biểu thức  1 1 1   2      4   x y z xy z x y z 1 2 2  2 2 2     0 x y z xy yz xz xy z 2 1      1  1           0         0 xz z   yz y z  x  x z  y z 1  x  z 0   x  y  z   0  y z 1 1 1 1   2 z   P     x y  2 2 2 Thay x  y  z vào x y z ta 2019 1 Bài (4,0 điểm) 4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q 3 x  x  17 x  Q 3 x  x  17 x  3 x  x  x  x  15 x   x  x  1  x  x  1  5(3 x  1)  x  1  x  x   5) Giải phương trình  x  1  x    x  x  12  24  x  1  x    x  x  12  24   x  1  x    x  3  x    24 0   x  1 ( x  4)  x    x  3  24 0   x  x    x  x    24 0  *  Đặt t  x  x  , phương trình (*) thành :  t 5  t   t  1  t  1  24 0  t   24 0    x  x  5   x  x    S   5;0  x  x 0   x  x  10    x  5; x 0  Vo nghiem  Vậy 6) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1 a b b c c a   0 2 Chứng minh  c  a  b  a ab  bc  ca  a  a  b   a  c  Hoàn toàn tương tự :   b  b  a   b  c  ;  c  c  a   c  b  a b a b a c  b  c 1     1 c  c  a  c  b  c  a   c  b c  b c  a b c b c ba a c 1     1 a  b  a  c  a  b  a  c  a c  a a  b c a c a bc b a 1     1 b  b  a  c  b  b  a  c  b a  b c  b a b b c c a   0 2 Vậy  c  a  b Bài (4,0 điểm) 2 m  n ; 3) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m  m 5n  n Chứng minh   5m  5n  1 số phương 2 Ta có : 4m  m 5n  n  4m  4n  m  n n   m  n   4m  4n  1 n  1 Gọi Từ d UCLN  m  n; 4m  4n  1   4m  4n  1   m  n  d  8n  1d    1  n d  nd  3 Từ (2) (3) suy 1d  d 1 Vậy m  n 4m  4n  số nguyên tố thỏa mãn Nên chúng số phương  1 4) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x   x  1  y   y  1 x   x  1  y   y  1  x  x  x   y    y  1     x  x  2 y  y  y  y   x2  x  y  y3  y  y  x  x  y  y  y  1  y  y  x  x   y  y  1  y  y  1  2  x  x   y  y  1  1  y  y  1  1  y  y  1 x 0   1   y  y  1     y  y   Nếu Phương trình có tập nghiệm nguyên   y 0  y  y 0    y    y  y  0(VN )   0;0  ,  0;  1  y 0 x    y  y  1 1   (cmt )   1;0  ,   1;  1 y   Nếu Phương trình có nghiệm  x     x  1  x  x   x   1 x1 Nếu khơng có nghiệm ngun AB  AC  Kẻ đường phân giác AD (D Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  thuộc BC) Kẻ AJ vng góc với BC (J thuộc BC) Từ D kẻ DH , DK vng góc với AB, AC  H  AB, K  AC  , BK cắt DH M, CH cắt DK N A K H F I N C M B D E J HM BH  5) Chứng minh AJ JB.JC , MD HA Ta có B  C 90 (vì ABC vng A), CAJ  C 90 (vì tam giác AJB vng)  B CAJ Xét AJC JBA có : AJB AJC 90 ; CAJ B  cmt   AJC ∽ JBA( g.g ) AJ JC   AJ JB.JC JB AJ Xét tứ giác AKDH có : DHA HAK AKD 90  AKDH hình chữ nhật HM MB DH / / AK  DK / / AH  HMB ∽ DMK    1 DM MK Nên DK / / AH BH BM DH / / AK    2 HA MK HM BH  Từ (1) (2) suy MD HA 6) Chứng minh MN / / BC MB HB ND    MN / / BD  MN / / BC MK HA NK 7) Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng Xét tứ giác AKDH có A H K 90  AKDH hình chữ nhật mà AD phân giác A  AKDH hình vng  AK DK  DH  AH KN KN AH AK KN AK        AKN ∽ BAK  AKB ANK KA KD AB AB KA AB Mà ANK  NAK 90  APK vuông P hay AN  BK P Chứng minh tương tự ta có AM  CH  I trực tâm tam giác AMN  AI  MN  Mà MN / / AC  AI  MN mà AJ  MN  A, I , J thẳng hàng 8) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh Đặt AE BF DH   9 ME MF MH S ABD S ; S MBD S1 ; S MAB S ; S MAD S3  S S1  S  S3  1 1 S S S  AE BF DH S S S      S      S1  S2  S3      9 ME MF MH S1 S S  S1 S S  =  S1 S S3  Ta có: Bài (2,0 điểm) 1   2019 x , y , z x y z 3) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn 1 P   x  y  z x  y  z x  y  2z biểu thức 1 1 1 1 1 1 1           1 x  y  z x  x  y  z x.x y.z x x y z 16  x x y z  Cmtt : 1 1 1 1 1 1 1 1        2 ;        3 x  y  z 16  x y y z  x  y  z 16  x y z z  Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1  4  2019        x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  2019 MaxP   x  y z  2019 Vậy 4) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : P  a  b ab  b  c  bc  c  a  ac b c   a 9       b c c  a a b  Bất đẳng thức cho tương đương với : a b2 b c c a b c   a      3      ab ab bc bc ca ac  b c c  a a b  a b b c c a b c   a       3      b a c b a c  b c c a a b  a a 1 4a      b b c c 4c b c b c b  c b c   ;   a a a a Ta có Tương tự : a c a  c b a a  b a a b b c c b c   a       4     b c a c b a  b c a c a b  a a b b c c b c  b c   a  a       2        2  b c a c b a  b c a c a b   b c a c a b  xy z xz y yz x  b ;a  ;c  2 Đặt a  b  x, b  c  y , a  c z  a b c xz y x y z yz x      b c a c a b 2y 2z 2x a b c 1 x z x y y z              1 b c a c a b  y y z z x x  1 x y x z z y         2 y x z x y z   x y x y x z x z z y z y  2 2;  2 2;  2 2 y x z x z x y z y z Lại có y x a b c 3       b c a c a b 2 ...   4m  4n  1 n  1 Gọi Từ d UCLN  m  n; 4m  4n  1   4m  4n  1   m  n  d  8n  1d    1  n d  nd  3 Từ (2) (3) suy 1d  d 1 Vậy m  n 4m  4n  số nguyên tố thỏa... CH  I trực tâm tam giác AMN  AI  MN  Mà MN / / AC  AI  MN mà AJ  MN  A, I , J thẳng hàng 8) Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh Đặt AE BF DH   9 ME MF MH S ABD S ; S