095 đề hsg toán 8 quan hòa 22 23

9 2 0
095 đề hsg toán 8 quan hòa 22 23

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thứ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (4,0 điểm)  x2 y2  x2 y2  x y P     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P x  y  10 2  x  y  x , y P b) Tính giá trị biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức 2) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x  13 xy  y 0 Tính giá trị biểu thức 2x  y A 7x  y Câu (4,0 điểm) 1) Tìm hệ số a, b cho x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x   ab   a b   2 2) Cho a, b 1 thỏa mãn a  b 1 Chứng minh b  a  a b  x2 3 x  x   x  2 3) Giải phương trình : Câu (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y    xy  x  y  2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x  y a, b 3) Tìm tất cặp số nguyên dương   cho a  chia hết cho ab  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H 1) Chứng minh : BH BE  CH CF BC HD HE HF   2) Tính AD BE CF 3) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF AD.HD  BC 4) Chứng minh 5) Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:  x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx 2 2) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh ab  bc  ca  abc 2 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) P  x  x2 y2  x2 y2  xy    2  xy xy  y  x  xy  y  x  xy 3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0; y 0; x  y  x2 y2  x2 y2  xy P     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y  y  x  ( x  y)  y  x  y  x2     x  x  x  y xy  x  y  y  x  y   x  xy  y   2 2 3 x y  xy  xy  x y  y  x xy y3  x3     2 x xy  x  y  x  xy  y x xy x  xy  y 2 2  x  y   x  xy  y  x y x y      x xy x  xy  y x xy xy x  y  10 2  x  y  d) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức Ta có : x  y  10 2  x  y   x  y  10  x  y 0   x  x  1   y  y   0  x  0  x 1 1 2   x  1   y  3 0    (tmdk )  P   1.( 3)  y  0  y  x 1, y 3  P  Vậy với 4) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x  13 xy  y 0 Tính giá trị biểu thức A 2x  y 7x  y Ta có x  13 xy  y 0   x  14 xy    xy  y  0  x  x  y   y  x  y  0   x  y   x  y  0  x  y 0    x  y 0 4y  6y    x 2 y (tm)  A 14 y  y    y  x( ktm) Câu (4,0 điểm) 4) Tìm hệ số a, b cho x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x  Ta có : x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x  nên x  x  3x  ax  b  x  x   A  x   x   x 1  x   A( x)  x  Với x     a  b   b  a   b a   1 x 2    2a  b 1  2a  b 5  b 5  2a   Với Từ (1), (2)  a  5  2a  a 3  b  Vậy với a 3, b  x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x   ab   a b   3 2 5) Cho a, b 1 thỏa mãn a  b 1 Chứng minh b  a  a b  a  b 1   a  b  1  a  b  2ab 1   a  b 2ab  a, b 1 Ta có , Với có a b a b VT     b  a   b  1  b  b  1  a  1  a  a  1    a  b  a  b  b  b  1  b  a  a  b  a  a  1  a b   a  b  b  1  b  a  a  1 1 1  a  b2  a  b    b  b  a  a   ab   ab  b  a 2b  ab  b  b  a  b  2ab     ab  2  ab  ab  a  b    x 6) Giải phương trình : ĐKXĐ: x  x2  x  2 2ab   ab   x  2 2   a  b    ab    ab  1    ab   VP (dfcm) a 2b  3 x  x   x2  3 x  x     x   x   x  x   x  x  x  0     x    2 x  x      x2    x  x  1 0   x      x  1 0 x2 x2   x x      x2  x  1  x    x  1 0 x2 x2    x   x  0     x   x    x 0 x  x   x2  3 x     3x    0   x2 x2    x  1  x    x 0  x   x 0  x2  x   x  x  x 0    x  x  x   x 0   x 0    x  x  0  x    3   x      S  6;    Vậy tập nghiệm phương trình Câu (4,0 điểm) 4) Tìm nghiệm ngun phương trình : Ta có : x  y    xy  x  y  x  y    xy  x  y   x  y  1  x  xy  x  y  0  x  y  1  x   xy  x   x   y  1 0  x  y  1  x  y  1   y  1 4 x  x  1 1  1 x  x   x  x    x     4  2 Vì (với x) 2 4x  2x 4x  4x   6x  6x  6x    1  y    4   y 5 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 y   Z  x  4x  x  1 1 2  x  x   x  x   x  x x  x   x  x   x  6x  x    x  x  1  x  6x  x   x  6x  x   18  x x  x  1  Từ (1), (2) suy 14x  x   x  x   U (14)  1; 2;7;14  x  x   x   x 0  y 1(tm) x  x  1  x  x 0    x 1  y 7(tm) x  x  2  x  x  0( k co nghiem nguyen)  x 3  y 7(tm) x  x  7  x  x  0    x   y 19 (ktm)  2 x  x  14  x  x  13 0( k co nghiem nguyen) 2 Vậy nghiệm nguyên phương trình  x; y    0;1 ;  1;7  ;  3;7   5) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y x  y Ta có : x  y  x  y  x  y 4 x3  y  x  2 y   x  y  x  x  4 y  y    x  1  y  1      x  1  y  x  y  0 2 2  4  x  x  x  x  x   x  0     x   x  x3    x   x3  x   x 0  y 0(tm)  x 1  y 1(tm)   x 0  y 1(tm) 0    x 1  y 0(tm) Vậy số nguyên (x,y) thỏa mãn  x; y    0;1 ;(1;0);(1;1);(0; 0) 6) Tìm tất cặp số nguyên dương Ta có :  a, b  cho a  chia hết cho ab  a  2 ab    b  a    ab    a 2b  2b  ab     a 2b  2a   2a  2b  ab    a  ab     a  b   ab     a  b   ab     a  b  k  ab    k  N * *k 2  k  ab   2  ab     a  b  2  ab    a  b ab   ab  a  b   0   a  1  b  1  1(ktm a, b  0)  k 1   a  b  ab   ab   2a  2b 0   b    a   2 a b a b 2 1 1 2 0(ktm) 0(ktm) Thử lại với a 3, b 4  a  7 không chia hết cho ab  12  14 Với a 4, b 3  a  14 chia hết cho ab  12  14 a; b  4;3 Vậy cặp số nguyên     Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H A M F E N H K P C Q D B 6) Chứng minh : BH BE  CH CF BC Xét BHD BCE có : EBC chung , BDH BEC 90  BDH ∽ BEC ( g g )  BD BH   BE.BH BD.BC  1 BE BC CH CF CD.BC   Chứng minh tương tự, ta có : CH CF  BE.BH BD.BC  CD.BC  BD  CD  BC BC Từ (1) (2) suy Vậy BH BE  CH CF BC HD HE HF   7) Tính AD BE CF Ta có S BHC DH BC , S ABC DA.BC  S BHC DH   3 S ABC DA S AHC EH S FH    ; AHB    S ABC FC Chứng minh tương tự ta có : S ABC EB DH EH FH S BHC S AHC S AHB S ABC       1 , , Từ       ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC chung, CFA BEA 90  FAC ∽ EAB ( g.g )  AE FA  AB CA Xét AEF ABC có : AE FA   AEF ∽ ABC (c.g c)  AEF ABC BAC chung, AB CA Chứng minh tương tự ta có DEC ABC  AEF DEC AEF  FEH DEC  HEK 90  FEH HEK   Mà Hay EH phân giác FEK mà EC  EH  EC phân giác đỉnh E EFK Xét EFK có EH phân giác FEK , EC phân giác EK HK KC    HK FC KC FH FE HF FC BC AD.HD  9) Chứng minh Xét BCE ACD có : BCAchung , BEC ADC 90  BCE ACD HD AB BHD ∽ BCE (cmt )  BHD ∽ ACD    AD.HD BD.CD   CD AD Mà  BD  CD  Ta có :    BD  CD  2 0  BD  CD 2 BD.CD  BD  CD  4 BD.CD  BD.CD  AD.HD  BC BC   7 Từ (6), (7) ta có 10)Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Ta có ME / / CF (cùng vng góc với AB) Xét ACF có ME / / CF  AM AE AE AN AM AN     MF EC Chứng minh tương tự : EC ND MF ND AM AN   MN / / DF Xét ADF có : MF ND (Ta let đảo) PQ / / DF , MQ / / DF  điểm M , N , P, Q nằm đường Chứng minh tương tự ta có thẳng Câu (2,0 điểm) 3) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:  x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx Vì vai trị x, y , z nhau, giả sử x  y  z  x  y  0, x  z  0, y  z  x  z  x   x  z   x  x  0; x  z    Ta có : Có xy  yz  zx xy  y  z  y2   1  1    xy  yz  zx      xy    2 2 2 2  y  z   z  x    y  z   z  x     x  y    x  y   1  x y xy   xy  yz  zx        2 2  y  z   z  x   y x  x  y    x  y  Có  x  y   xy 2  x  y  xy 4 x y xy   2  2 y x xy y x  x  y2  x  y  x  y  1  1   xy  yz  zx     4     2 2 2  y  z   z  x    x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx   x  y  2 4) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh ab  bc  ca  abc 2 Trong số a  1, b  1, c  tồn hai số dấu, giả sử hai số a  1, b    a  1  b  1 0  ab  a  b  0  ab a  b   abc c  a  b  1  abc ac  bc  c  abc  ac  bc  c  2 2 2 Ta có : a  b 2ab (với a, b)  a  b  c  abc 2bc  c  abc  2ab  c  abc   c ab  c      c    c  ab  c     c ab  ac  bc   c ab  bc  ca Mà abc  ac  bc   c  abc  ab  bc  ca  ab  bc  ac  abc 2(dfcm) ...   x  x x  x   x  x   x  6x  x    x  x  1  x  6x  x   x  6x  x   18  x x  x  1  Từ (1), (2) suy 14x  x   x  x   U (14)  1; 2;7;14  x  x   x ... BHC S AHC S AHB S ABC       1 , , Từ       ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC

Ngày đăng: 25/02/2023, 22:33

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan