095 đề hsg toán 8 quan hòa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thứ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (4,0 điểm)  x2 y2  x2 y2  x y P     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P x  y  10 2  x  y  x , y P b) Tính giá trị biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức 2) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x  13 xy  y 0 Tính giá trị biểu thức 2x  y A 7x  y Câu (4,0 điểm) 1) Tìm hệ số a, b cho x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x   ab   a b   2 2) Cho a, b 1 thỏa mãn a  b 1 Chứng minh b  a  a b  x2 3 x  x   x  2 3) Giải phương trình : Câu (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y    xy  x  y  2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x  y a, b 3) Tìm tất cặp số nguyên dương   cho a  chia hết cho ab  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H 1) Chứng minh : BH BE  CH CF BC HD HE HF   2) Tính AD BE CF 3) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF AD.HD  BC 4) Chứng minh 5) Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:  x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx 2 2) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh ab  bc  ca  abc 2 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) P  x  x2 y2  x2 y2  xy    2  xy xy  y  x  xy  y  x  xy 3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0; y 0; x  y  x2 y2  x2 y2  xy P     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y  y  x  ( x  y)  y  x  y  x2     x  x  x  y xy  x  y  y  x  y   x  xy  y   2 2 3 x y  xy  xy  x y  y  x xy y3  x3     2 x xy  x  y  x  xy  y x xy x  xy  y 2 2  x  y   x  xy  y  x y x y      x xy x  xy  y x xy xy x  y  10 2  x  y  d) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức Ta có : x  y  10 2  x  y   x  y  10  x  y 0   x  x  1   y  y   0  x  0  x 1 1 2   x  1   y  3 0    (tmdk )  P   1.( 3)  y  0  y  x 1, y 3  P  Vậy với 4) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x  13 xy  y 0 Tính giá trị biểu thức A 2x  y 7x  y Ta có x  13 xy  y 0   x  14 xy    xy  y  0  x  x  y   y  x  y  0   x  y   x  y  0  x  y 0    x  y 0 4y  6y    x 2 y (tm)  A 14 y  y    y  x( ktm) Câu (4,0 điểm) 4) Tìm hệ số a, b cho x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x  Ta có : x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x  nên x  x  3x  ax  b  x  x   A  x   x   x 1  x   A( x)  x  Với x     a  b   b  a   b a   1 x 2    2a  b 1  2a  b 5  b 5  2a   Với Từ (1), (2)  a  5  2a  a 3  b  Vậy với a 3, b  x  x  3x  ax  b chia cho x  x  dư x   ab   a b   3 2 5) Cho a, b 1 thỏa mãn a  b 1 Chứng minh b  a  a b  a  b 1   a  b  1  a  b  2ab 1   a  b 2ab  a, b 1 Ta có , Với có a b a b VT     b  a   b  1  b  b  1  a  1  a  a  1    a  b  a  b  b  b  1  b  a  a  b  a  a  1  a b   a  b  b  1  b  a  a  1 1 1  a  b2  a  b    b  b  a  a   ab   ab  b  a 2b  ab  b  b  a  b  2ab     ab  2  ab  ab  a  b    x 6) Giải phương trình : ĐKXĐ: x  x2  x  2 2ab   ab   x  2 2   a  b    ab    ab  1    ab   VP (dfcm) a 2b  3 x  x   x2  3 x  x     x   x   x  x   x  x  x  0     x    2 x  x      x2    x  x  1 0   x      x  1 0 x2 x2   x x      x2  x  1  x    x  1 0 x2 x2    x   x  0     x   x    x 0 x  x   x2  3 x     3x    0   x2 x2    x  1  x    x 0  x   x 0  x2  x   x  x  x 0    x  x  x   x 0   x 0    x  x  0  x    3   x      S  6;    Vậy tập nghiệm phương trình Câu (4,0 điểm) 4) Tìm nghiệm ngun phương trình : Ta có : x  y    xy  x  y  x  y    xy  x  y   x  y  1  x  xy  x  y  0  x  y  1  x   xy  x   x   y  1 0  x  y  1  x  y  1   y  1 4 x  x  1 1  1 x  x   x  x    x     4  2 Vì (với x) 2 4x  2x 4x  4x   6x  6x  6x    1  y    4   y 5 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 y   Z  x  4x  x  1 1 2  x  x   x  x   x  x x  x   x  x   x  6x  x    x  x  1  x  6x  x   x  6x  x   18  x x  x  1  Từ (1), (2) suy 14x  x   x  x   U (14)  1; 2;7;14  x  x   x   x 0  y 1(tm) x  x  1  x  x 0    x 1  y 7(tm) x  x  2  x  x  0( k co nghiem nguyen)  x 3  y 7(tm) x  x  7  x  x  0    x   y 19 (ktm)  2 x  x  14  x  x  13 0( k co nghiem nguyen) 2 Vậy nghiệm nguyên phương trình  x; y    0;1 ;  1;7  ;  3;7   5) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y x  y Ta có : x  y  x  y  x  y 4 x3  y  x  2 y   x  y  x  x  4 y  y    x  1  y  1      x  1  y  x  y  0 2 2  4  x  x  x  x  x   x  0     x   x  x3    x   x3  x   x 0  y 0(tm)  x 1  y 1(tm)   x 0  y 1(tm) 0    x 1  y 0(tm) Vậy số nguyên (x,y) thỏa mãn  x; y    0;1 ;(1;0);(1;1);(0; 0) 6) Tìm tất cặp số nguyên dương Ta có :  a, b  cho a  chia hết cho ab  a  2 ab    b  a    ab    a 2b  2b  ab     a 2b  2a   2a  2b  ab    a  ab     a  b   ab     a  b   ab     a  b  k  ab    k  N * *k 2  k  ab   2  ab     a  b  2  ab    a  b ab   ab  a  b   0   a  1  b  1  1(ktm a, b  0)  k 1   a  b  ab   ab   2a  2b 0   b    a   2 a b a b 2 1 1 2 0(ktm) 0(ktm) Thử lại với a 3, b 4  a  7 không chia hết cho ab  12  14 Với a 4, b 3  a  14 chia hết cho ab  12  14 a; b  4;3 Vậy cặp số nguyên     Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H A M F E N H K P C Q D B 6) Chứng minh : BH BE  CH CF BC Xét BHD BCE có : EBC chung , BDH BEC 90  BDH ∽ BEC ( g g )  BD BH   BE.BH BD.BC  1 BE BC CH CF CD.BC   Chứng minh tương tự, ta có : CH CF  BE.BH BD.BC  CD.BC  BD  CD  BC BC Từ (1) (2) suy Vậy BH BE  CH CF BC HD HE HF   7) Tính AD BE CF Ta có S BHC DH BC , S ABC DA.BC  S BHC DH   3 S ABC DA S AHC EH S FH    ; AHB    S ABC FC Chứng minh tương tự ta có : S ABC EB DH EH FH S BHC S AHC S AHB S ABC       1 , , Từ       ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC chung, CFA BEA 90  FAC ∽ EAB ( g.g )  AE FA  AB CA Xét AEF ABC có : AE FA   AEF ∽ ABC (c.g c)  AEF ABC BAC chung, AB CA Chứng minh tương tự ta có DEC ABC  AEF DEC AEF  FEH DEC  HEK 90  FEH HEK   Mà Hay EH phân giác FEK mà EC  EH  EC phân giác đỉnh E EFK Xét EFK có EH phân giác FEK , EC phân giác EK HK KC    HK FC KC FH FE HF FC BC AD.HD  9) Chứng minh Xét BCE ACD có : BCAchung , BEC ADC 90  BCE ACD HD AB BHD ∽ BCE (cmt )  BHD ∽ ACD    AD.HD BD.CD   CD AD Mà  BD  CD  Ta có :    BD  CD  2 0  BD  CD 2 BD.CD  BD  CD  4 BD.CD  BD.CD  AD.HD  BC BC   7 Từ (6), (7) ta có 10)Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Ta có ME / / CF (cùng vng góc với AB) Xét ACF có ME / / CF  AM AE AE AN AM AN     MF EC Chứng minh tương tự : EC ND MF ND AM AN   MN / / DF Xét ADF có : MF ND (Ta let đảo) PQ / / DF , MQ / / DF  điểm M , N , P, Q nằm đường Chứng minh tương tự ta có thẳng Câu (2,0 điểm) 3) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:  x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx Vì vai trị x, y , z nhau, giả sử x  y  z  x  y  0, x  z  0, y  z  x  z  x   x  z   x  x  0; x  z    Ta có : Có xy  yz  zx xy  y  z  y2   1  1    xy  yz  zx      xy    2 2 2 2  y  z   z  x    y  z   z  x     x  y    x  y   1  x y xy   xy  yz  zx        2 2  y  z   z  x   y x  x  y    x  y  Có  x  y   xy 2  x  y  xy 4 x y xy   2  2 y x xy y x  x  y2  x  y  x  y  1  1   xy  yz  zx     4     2 2 2  y  z   z  x    x  y   y  z   z  x  xy  yz  zx   x  y  2 4) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh ab  bc  ca  abc 2 Trong số a  1, b  1, c  tồn hai số dấu, giả sử hai số a  1, b    a  1  b  1 0  ab  a  b  0  ab a  b   abc c  a  b  1  abc ac  bc  c  abc  ac  bc  c  2 2 2 Ta có : a  b 2ab (với a, b)  a  b  c  abc 2bc  c  abc  2ab  c  abc   c ab  c      c    c  ab  c     c ab  ac  bc   c ab  bc  ca Mà abc  ac  bc   c  abc  ab  bc  ca  ab  bc  ac  abc 2(dfcm) ...   x  x x  x   x  x   x  6x  x    x  x  1  x  6x  x   x  6x  x   18  x x  x  1  Từ (1), (2) suy 14x  x   x  x   U (14)  1; 2;7;14  x  x   x ... BHC S AHC S AHB S ABC       1 , , Từ       ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC