Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thứ[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (4,0 điểm) x2 y2 x2 y2 x y P 2 x x xy xy xy y x xy y 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P x y 10 2 x y x , y P b) Tính giá trị biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức 2) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x 13 xy y 0 Tính giá trị biểu thức 2x y A 7x y Câu (4,0 điểm) 1) Tìm hệ số a, b cho x x 3x ax b chia cho x x dư x ab a b 2 2) Cho a, b 1 thỏa mãn a b 1 Chứng minh b a a b x2 3 x x x 2 3) Giải phương trình : Câu (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y xy x y 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y a, b 3) Tìm tất cặp số nguyên dương cho a chia hết cho ab Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H 1) Chứng minh : BH BE CH CF BC HD HE HF 2) Tính AD BE CF 3) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF AD.HD BC 4) Chứng minh 5) Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng: x y y z z x xy yz zx 2 2) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a b c abc 4 Chứng minh ab bc ca abc 2 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) P x x2 y2 x2 y2 xy 2 xy xy y x xy y x xy 3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0; y 0; x y x2 y2 x2 y2 xy P 2 x x xy xy xy y x xy y y x ( x y) y x y x2 x x x y xy x y y x y x xy y 2 2 3 x y xy xy x y y x xy y3 x3 2 x xy x y x xy y x xy x xy y 2 2 x y x xy y x y x y x xy x xy y x xy xy x y 10 2 x y d) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức Ta có : x y 10 2 x y x y 10 x y 0 x x 1 y y 0 x 0 x 1 1 2 x 1 y 3 0 (tmdk ) P 1.( 3) y 0 y x 1, y 3 P Vậy với 4) Cho số dương x, y thỏa mãn đẳng thức x 13 xy y 0 Tính giá trị biểu thức A 2x y 7x y Ta có x 13 xy y 0 x 14 xy xy y 0 x x y y x y 0 x y x y 0 x y 0 x y 0 4y 6y x 2 y (tm) A 14 y y y x( ktm) Câu (4,0 điểm) 4) Tìm hệ số a, b cho x x 3x ax b chia cho x x dư x Ta có : x x 3x ax b chia cho x x dư x nên x x 3x ax b x x A x x x 1 x A( x) x Với x a b b a b a 1 x 2 2a b 1 2a b 5 b 5 2a Với Từ (1), (2) a 5 2a a 3 b Vậy với a 3, b x x 3x ax b chia cho x x dư x ab a b 3 2 5) Cho a, b 1 thỏa mãn a b 1 Chứng minh b a a b a b 1 a b 1 a b 2ab 1 a b 2ab a, b 1 Ta có , Với có a b a b VT b a b 1 b b 1 a 1 a a 1 a b a b b b 1 b a a b a a 1 a b a b b 1 b a a 1 1 1 a b2 a b b b a a ab ab b a 2b ab b b a b 2ab ab 2 ab ab a b x 6) Giải phương trình : ĐKXĐ: x x2 x 2 2ab ab x 2 2 a b ab ab 1 ab VP (dfcm) a 2b 3 x x x2 3 x x x x x x x x x 0 x 2 x x x2 x x 1 0 x x 1 0 x2 x2 x x x2 x 1 x x 1 0 x2 x2 x x 0 x x x 0 x x x2 3 x 3x 0 x2 x2 x 1 x x 0 x x 0 x2 x x x x 0 x x x x 0 x 0 x x 0 x 3 x S 6; Vậy tập nghiệm phương trình Câu (4,0 điểm) 4) Tìm nghiệm ngun phương trình : Ta có : x y xy x y x y xy x y x y 1 x xy x y 0 x y 1 x xy x x y 1 0 x y 1 x y 1 y 1 4 x x 1 1 1 x x x x x 4 2 Vì (với x) 2 4x 2x 4x 4x 6x 6x 6x 1 y 4 y 5 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 y Z x 4x x 1 1 2 x x x x x x x x x x x 6x x x x 1 x 6x x x 6x x 18 x x x 1 Từ (1), (2) suy 14x x x x U (14) 1; 2;7;14 x x x x 0 y 1(tm) x x 1 x x 0 x 1 y 7(tm) x x 2 x x 0( k co nghiem nguyen) x 3 y 7(tm) x x 7 x x 0 x y 19 (ktm) 2 x x 14 x x 13 0( k co nghiem nguyen) 2 Vậy nghiệm nguyên phương trình x; y 0;1 ; 1;7 ; 3;7 5) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y Ta có : x y x y x y 4 x3 y x 2 y x y x x 4 y y x 1 y 1 x 1 y x y 0 2 2 4 x x x x x x 0 x x x3 x x3 x x 0 y 0(tm) x 1 y 1(tm) x 0 y 1(tm) 0 x 1 y 0(tm) Vậy số nguyên (x,y) thỏa mãn x; y 0;1 ;(1;0);(1;1);(0; 0) 6) Tìm tất cặp số nguyên dương Ta có : a, b cho a chia hết cho ab a 2 ab b a ab a 2b 2b ab a 2b 2a 2a 2b ab a ab a b ab a b ab a b k ab k N * *k 2 k ab 2 ab a b 2 ab a b ab ab a b 0 a 1 b 1 1(ktm a, b 0) k 1 a b ab ab 2a 2b 0 b a 2 a b a b 2 1 1 2 0(ktm) 0(ktm) Thử lại với a 3, b 4 a 7 không chia hết cho ab 12 14 Với a 4, b 3 a 14 chia hết cho ab 12 14 a; b 4;3 Vậy cặp số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H A M F E N H K P C Q D B 6) Chứng minh : BH BE CH CF BC Xét BHD BCE có : EBC chung , BDH BEC 90 BDH ∽ BEC ( g g ) BD BH BE.BH BD.BC 1 BE BC CH CF CD.BC Chứng minh tương tự, ta có : CH CF BE.BH BD.BC CD.BC BD CD BC BC Từ (1) (2) suy Vậy BH BE CH CF BC HD HE HF 7) Tính AD BE CF Ta có S BHC DH BC , S ABC DA.BC S BHC DH 3 S ABC DA S AHC EH S FH ; AHB S ABC FC Chứng minh tương tự ta có : S ABC EB DH EH FH S BHC S AHC S AHB S ABC 1 , , Từ ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC chung, CFA BEA 90 FAC ∽ EAB ( g.g ) AE FA AB CA Xét AEF ABC có : AE FA AEF ∽ ABC (c.g c) AEF ABC BAC chung, AB CA Chứng minh tương tự ta có DEC ABC AEF DEC AEF FEH DEC HEK 90 FEH HEK Mà Hay EH phân giác FEK mà EC EH EC phân giác đỉnh E EFK Xét EFK có EH phân giác FEK , EC phân giác EK HK KC HK FC KC FH FE HF FC BC AD.HD 9) Chứng minh Xét BCE ACD có : BCAchung , BEC ADC 90 BCE ACD HD AB BHD ∽ BCE (cmt ) BHD ∽ ACD AD.HD BD.CD CD AD Mà BD CD Ta có : BD CD 2 0 BD CD 2 BD.CD BD CD 4 BD.CD BD.CD AD.HD BC BC 7 Từ (6), (7) ta có 10)Gọi M, N, P,Q chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF , BC Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng Ta có ME / / CF (cùng vng góc với AB) Xét ACF có ME / / CF AM AE AE AN AM AN MF EC Chứng minh tương tự : EC ND MF ND AM AN MN / / DF Xét ADF có : MF ND (Ta let đảo) PQ / / DF , MQ / / DF điểm M , N , P, Q nằm đường Chứng minh tương tự ta có thẳng Câu (2,0 điểm) 3) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng: x y y z z x xy yz zx Vì vai trị x, y , z nhau, giả sử x y z x y 0, x z 0, y z x z x x z x x 0; x z Ta có : Có xy yz zx xy y z y2 1 1 xy yz zx xy 2 2 2 2 y z z x y z z x x y x y 1 x y xy xy yz zx 2 2 y z z x y x x y x y Có x y xy 2 x y xy 4 x y xy 2 2 y x xy y x x y2 x y x y 1 1 xy yz zx 4 2 2 2 y z z x x y y z z x xy yz zx x y 2 4) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a b c abc 4 Chứng minh ab bc ca abc 2 Trong số a 1, b 1, c tồn hai số dấu, giả sử hai số a 1, b a 1 b 1 0 ab a b 0 ab a b abc c a b 1 abc ac bc c abc ac bc c 2 2 2 Ta có : a b 2ab (với a, b) a b c abc 2bc c abc 2ab c abc c ab c c c ab c c ab ac bc c ab bc ca Mà abc ac bc c abc ab bc ca ab bc ac abc 2(dfcm) ... x x x x x x x 6x x x x 1 x 6x x x 6x x 18 x x x 1 Từ (1), (2) suy 14x x x x U (14) 1; 2;7;14 x x x ... BHC S AHC S AHB S ABC 1 , , Từ ta có : DA EB FC S ABC S ABC S ABC S ABC 8) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh HF CK HK CF Gọi K giao điểm DE CF Xét FAC EAB có : BAC