120 đề HSG toán 8 khánh hòa 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KHÁNH HÒA THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2016-2017 MƠN: TỐN Ngày thi: 11-4-2017 Bài (4 điểm) a2  b2  c2    a  2c  3c  19 a) Tìm số dương a, b, c thỏa mãn : 4 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  x  3x  x  Bài (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic sức khỏe tồn dân, trường A nhận số áo chia cho lớp Biết theo thứ tự, lớp thứ nhận áo 1 n n  2;3;4  nhận 4n áo số áo lại Cứ số lại, đến lớp thứ  lớp nhận hết số áo Hỏi trường A nhận áo ? Bài (3 điểm)  n 2017  n 2018   n Tìm tất số nguyên dương để số nguyên tố Bài (3 điểm) Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ thắng a2 trận thua b2 trận, …., đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận 2 2 2 2 Chứng minh a1  a2  a3   a9  b1  b2  b3   b9 Bài (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a  cm  Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A B) Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D E cho CD  CA CE  CB a) Chứng minh AE góc với BD b) Gọi M N trung điểm AE BD Tìm vị trí điểm C đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn c) Gọi I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ I đến AB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài (2 điểm) Hình vng có  (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm    hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột , đường chéo ĐÁP ÁN Bài 2 2 2 a) Từ giả thiết a  2c  3b  19  a  2c  3b  19 a  b  c  3b  18 2c  a   2c   3b  18 14        14 15 12  12  15 Ta có: a  49  a  b  64  b  Suy : c  81  c  b) P  x  x3  x  x    x  x  1   x  x   x   x  1  x  x  1  x   x  x  1 2 2 1  1 3  3 x  x    x  x    x      P     4  2 4    16 Vì  x Dấu "  " xảy Bài Gọi số lớp trường A nhận áo x Vì lớp thứ x nhận áo cuối số áo phát hết nên số áo lớp thứ x nhận 4x  x  1  x  4,5 x  Lớp thứ x  nhận số áo Vì số áo lớp nhận nên ta có phương trình: 4,5 x   x  x  Suy số áo lớp nhận được: 4.8  32 (áo) Suy số áo trường A nhận được: 32.8  256 (áo) 2017 2018 Bài Đặt: A   n  n Với n  A  số nguyên tố Với n  1, ta có:  n 2017  n 2018   n 2018  n    n 2017  n    n  n  1  n  n 2016  1  n  n 2016  1   n  n  1   n 2016  1  n  n    n  n  1 Ta lại có: n 2016    n3    n 2016  1 M  n  n  1 672    n3  1  n3   Suy 671   n3  AM  n2  n  1 , 670   n3  1 M n3  1   mà  n  n   A nên A hợp số Vậy n  số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Bài Mỗi đội bóng thi đấu với đội bóng khác hai đội gặp trận nên đôi thi đấu trận   bi  (với i  1,2,3 8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a12  a22  a32   a92    a1     a2     a3      a9  2  16  a1  a2  a3   a9   576(1) Mặt khác, tổng số trận thắng đôi tổng số trận đấu nên : a1  a2  a3   a9  9.8  36(2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài a) Gọi H giao điểm BD AE µ B µ ACE  DCB (c.g.c)  E · · Suy DHE : DCB  g g   DHE  CDB  90 1 1 SCMEDN  SCME  SCDN  S ACE  S BCD  AC.CE  CB.CD  AC.CB 2 4 b) Ta có:  AC  CB  AC.CB   a2 4 Mặt khác, theo bđt AM-GM ta có: a2 SCMEDN  Dấu "  " xảy AC  CB hay C trung điểm AB Suy c) Gọi J , M ', N ' hình chiếu vng góc I , M , N lên AB MM ' NN ' (1) IJ MNN ' M ' Ta có: đường trung bình hình thang nên  ACE Ta lại có MM’ đường trung bình NN’ đường trung bình BCD nên IJ  MM '  CE CB CD AC  NN '   (2) 2 2 AC CB  2  AB  a IJ  4 Từ (1) (2) suy Vậy khoảng cách điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài Giả sử hình vng kỳ diệu điền số a, b, c, d , e, f , g , h, i hình vẽ a b c S abcd e f  g hi Đặt d e f g h i Suy Suy d e f behaei ce g  S (1)  d  e  f    b  e  h   a  e  i   c  e  g     d  e  f    b  e  h   a  e  i    c  e  g    S  3e  4S S e Từ (1) (2) 4S 4S (2) d  f bhai c g  2S  2e(dfcm)