SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KHÁNH HÒA THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2016-2017 MƠN: TỐN Ngày thi: 11-4-2017 Bài (4 điểm) a b2 c a 2c 3c 19 a) Tìm số dương a, b, c thỏa mãn : 4 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x x 3x x Bài (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic sức khỏe tồn dân, trường A nhận số áo chia cho lớp Biết theo thứ tự, lớp thứ nhận áo 1 n n 2;3;4 nhận 4n áo số áo lại Cứ số lại, đến lớp thứ lớp nhận hết số áo Hỏi trường A nhận áo ? Bài (3 điểm) n 2017 n 2018 n Tìm tất số nguyên dương để số nguyên tố Bài (3 điểm) Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ thắng a2 trận thua b2 trận, …., đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận 2 2 2 2 Chứng minh a1 a2 a3 a9 b1 b2 b3 b9 Bài (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a cm Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A B) Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D E cho CD CA CE CB a) Chứng minh AE góc với BD b) Gọi M N trung điểm AE BD Tìm vị trí điểm C đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn c) Gọi I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài (2 điểm) Hình vng có 3 (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột , đường chéo X ĐÁP ÁN Bài 2 2 2 a) Từ giả thiết a 2c 3b 19 a 2c 3b 19 a b c 3b 18 2c a 2c 3b 18 14 14 15 12 12 15 Ta có: a 49 a 7 b 64 b 8 Suy : c 81 c 9 b) P x x3 3x x x x 1 x x x 2 x 1 x x 1 x x x 1 2 1 1 3 3 x x x x x P 4 2 4 16 Vì x Dấu " " xảy Bài Gọi số lớp trường A nhận áo x Vì lớp thứ x nhận áo cuối số áo phát hết nên số áo lớp thứ x nhận 4x x 1 x 4,5 x Lớp thứ x nhận số áo Vì số áo lớp nhận nên ta có phương trình: 4,5 x 4 x x 8 Suy số áo lớp nhận được: 4.8 32 (áo) Suy số áo trường A nhận được: 32.8 256 (áo) 2017 2018 Bài Đặt: A 1 n n Với n 1 A 3 số nguyên tố Với n 1, ta có: n 2017 n 2018 n 2018 n n 2017 n n n 1 n n2016 1 n n 2016 1 n2 n 1 n 2016 1 n n n n 1 Ta lại có: n 2016 n3 n 2016 1 n n 1 672 n3 1 n3 Suy 671 n3 A n n 1 , 670 n3 1 n3 1 mà n n A nên A hợp số Vậy n 1 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Bài Mỗi đội bóng thi đấu với đội bóng khác hai đội gặp trận nên đôi thi đấu trận bi 8 (với i 1,2,3 8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 a12 a22 a32 a92 a1 a2 a3 a9 16 a1 a2 a3 a9 576(1) Mặt khác, tổng số trận thắng đôi tổng số trận đấu nên : a1 a2 a3 a9 9.8 36(2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài E H M D I N A M' C J N' B a) Gọi H giao điểm BD AE B ACE DCB (c.g c) E DHE DCB g g DHE CDB 90 Suy 1 1 SCMEDN SCME SCDN S ACE S BCD AC.CE CB.CD AC CB 2 4 b) Ta có: AC CB AC CB a2 4 Mặt khác, theo bđt AM-GM ta có: a2 SCMEDN Dấu " " xảy AC CB hay C trung điểm AB Suy c) Gọi J , M ', N ' hình chiếu vng góc I , M , N lên AB MM ' NN ' (1) IJ MNN ' M ' Ta có: đường trung bình hình thang nên Ta lại có MM’ đường trung bình ACE NN’ đường trung bình BCD nên IJ MM ' CE CB CD AC NN ' (2) 2 2 AC CB 2 AB a IJ 4 Từ (1) (2) suy Vậy khoảng cách điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài Giả a d g b e h c f i Đặt Suy Suy sử hình vng kỳ diệu điền số a, b, c, d , e, f , g , h, i hình vẽ S a b c d e f g h i d e f b e h a e i c e g S (1) d e f b e h a e i c e g d e f b e h a e i c e g S 3e 4S S e Từ (1) (2) 4S 4S (2) d f b h a i c g 2S 2e(dfcm)