066 đề HSG toán 8 vĩnh bảo 2016 2017

UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MƠN: TỐN Bài (3 điểm) 2 a) Phân tích đa thức a  b  c   b  c  a   c  a  b  thành nhân tử a  b  c  a2  b2  c2   a , b , c b) Cho ba số đôi khác thỏa mãn: a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab Tính giá trị biểu thức:  x5  y  z   xyz  x  y  z  x  y  z  c) Cho Chứng minh rằng: Bài (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương 2 1   25   a    b    a , b  b  a a  b  b) Cho thỏa mãn Chứng minh  Bài (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ phía ngoiaf hình bình · hành tam giác BCE DCF Tính số đo EAF Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA ', BB ', CC ' H trực tâm a) Chứng minh BC '.BA  CB '.CA  BC HB.HC HA.HB HC HA   1 AB AC BC AC BC AB b) Chứng minh rằng: c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N Chứng minh H trung điểm MN Bài (1 điểm) Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng có tính chất chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 505 đường thẳng 2018 đường thẳng đồng quy ĐÁP ÁN Bài 2 2 2 a) a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c   b  a  c   c  a  b   a  b  c   b  a  b    b  c    c  a  b    a  b2   b  c    c2  b2   a  b    a  b  a  b  b  c   b  c   b  c   a  b   a  b   b  c   a  b  b  c   a  b   b  c   a  c  b)  a  b  c  a  b  c  ab  ac  bc  a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b   a  c  b2 b2  ; b  2ac  b  a   b  c  c2 c2  c  2ac  c  a   c  b  Tương tự: a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab a2 b2 c2     a  b  a  c  a  b  b  c  a  c  b  c   a  b  a  c  b  c  a  b  a  c  b  c 1 c) Vì x  y  z   x  y   z   x  y    z x3  y  3xy  x  y    z  3xyz  x  y  z Hay 3xyz  x  y  z    x  y  z   x  y  z   x5  y  z  x  y  z   y  z  x   z  x  y  Do đó: 2 x  y  x  y  xy  z  xy  Vi   Mà x  y  z 2 2 2 Tương tự: y  z  x  yz; z  x  y  zx xyz  x  y  z   x  y  z  x  x  yz   y  y  zx   z  z  xy  Vì vậy:   x5  y  z   xyz  x  y  z  Suy :  x5  y  z   xyz  x  y  z  Bài a) Để n  18 n  41 hai số phương  n  18  p n  41  q  p, q  ¥   p  q   n  18    n  41  59   p  q   p  q   59  p  q 1  p  30    p  q  59 q  29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n  18  p  30  900  n  882 2 Thay vào n  41, ta 882  41  841  29  q Vậy với n  882 n  18 n  41 hai số phương 2 2 a  b   a  b  ab   a  b  2ab (*)   b) Có: Dấu đẳng thức xảy a  b  25 1   a    a  ;  b b  Áp dụng  * có:  2  25 1    b   b    a a   1   25  1      a   b  a    b       b  a b  a   Suy ra:  2 1   25    1    a    b      a  b      b  a   a b   2 1   25  1 1   a    b         (Vi a  b  1) b  a  a b 1    (Vi a  b  1) a , b a b a  b Với dương , chứng minh Dấu xảy a  b 2 1   25    5.4  a    b    b a    Ta được:  2 1   25    a    b    ab b  a Dấu đẳng thức xảy  Bài · · Chứng minh ABE  ECF Chứng minh ABE  FCE  c.g.c   AE  EF Tương tự: AF  EF ·  AE  EF  AF  AEF  EAF  600 Bài BH BC '   BH BB '  BC '.BA AB BB ' a) Chứng minh BH BA ' BHA ' : BCB '    BH BB '  BC.BA ' BC BB ' Chứng minh Từ (1) (2)  BC '.BA  BA '.BC Tương tự : CB '.CA  CA '.BC  BC '.BA  CB '.CA  BA '.BC  CA '.BC   BA ' A ' C  BC  BC BH BC ' BH CH BC '.CH S BHC     AB BB ' AB AC BB ' AC S ABC b) Có BHC ' : BAB '  AH BH S AHB AH CH S AHC  ;  CB CA S CB AB S ABC ABC Tương tự: HB.HC HA.HB HC.HA S ABC     1 AB AC AC.BC BC AB S ABC HM AH AHM : CDH  g g    (3) HD CD c) Chứng minh AH HN AHN : BDH  g.g    (4) BD HD Chứng minh (1) (2) Mà CD  BD Từ ( gt ) (5)  3 ,   ,    HM HN   HM  HN  H trung điểm MN HD HD Bài Gọi E , F , P, Q trung điểm AB, CD, BC , AD Lấy điểm I , G EF K , H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ     IF HQ GE KP Xét d đường thẳng cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC , EF M , N , G ' Ta có: AB. BM  AN  S ABMN 2 EG ' 2       G  G' CD. CM  DN  SCDNM G'F hay d qua G Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề qua điểm G, H , I , K Do có 2018 đường thẳng qua điểm G, H , I , K theo nguyên lý Dirichle  2018      505 phải tồn đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy  ... 59 q  29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n  18  p  30  900  n  88 2 2 Thay vào n  41, ta 88 2  41  84 1  29  q Vậy với n  88 2 n  18 n  41 hai số phương 2 2 a  b   a  b  ab ... yêu cầu đề qua điểm G, H , I , K Do có 20 18 đường thẳng qua điểm G, H , I , K theo nguyên lý Dirichle  20 18      505 phải tồn đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 20 18 đường...  Suy :  x5  y  z   xyz  x  y  z  Bài a) Để n  18 n  41 hai số phương  n  18  p n  41  q  p, q  ¥   p  q   n  18    n  41  59   p  q   p  q   59  p  q 1