Đang tải... (xem toàn văn)
UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 Năm học 2022 2023 Câu 1 (3,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Cho biểu thức Tìm giá trị nhỏ nhất[.]
UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN Năm học 2022-2023 Câu (3,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 2019 x 2018 x 2019 A x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 2) Cho biểu thức biểu thức A x Tìm giá trị nhỏ 5 3 2 3) Cho xy 1 Chứng minh x y x y x y x y Câu (2,0 điểm) 3 1) Giải phương trình nghiệm nguyên x x 3x y a b3 c ab bc ca 2) Cho a, b, c Chứng minh b c a Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ đường thẳng BC , vẽ hình vng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Chứng minh a) Tứ giác ABGF hình vng b) Tứ giác DEHG hình thang c) Ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Kẻ NH CM H Kẻ HE AB E Chứng minh ABH cân HM tia phân giác BHE Câu (1,0 điểm) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh da giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác ba đỉnh tam giác cân đánh dấu màu ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) 4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 2019 x 2018 x 2019 x 2019 x 2018 x 2019 x x 2019 x 2019 x 2019 x x 1 x x 1 2019 x x 1 x x 1 x x 2019 A x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 5) Cho biểu thức biểu thức A x A Tìm giá trị nhỏ x 1 x2 x x2 : x 1 x2 x 1 x x x2 x x x 1 x x x x x 1 x x 1 x2 : 2 x x 1 x 1 x 1 x x x2 1 1 x 1 x 2 x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x x ta x 1 1 2 ( x 1) 2 x 4 A 4 x x x x 2(tm) x 1 x 1 1 x x 0(ktm) Dấu xảy Vậy Min A 4 x 2 5 3 2 6) Cho xy 1 Chứng minh x y x y x y x y Ta có : x3 y x y x y x5 x3 y x y y x y x y x y ( x y) x y x y x y x y ( xy 1) x y (dfcm) 5 3 2 Vậy x y x y x y x y Câu (2,0 điểm) 3 3) Giải phương trình nghiệm nguyên x x 3x y Xét x 0 ta thấy phương trình vơ nghiệm Xét x 0 ta có : 3 7 y x 2 x x 2 x 3 16 với x y x 3 y x 1 x 0 x y x 1 3 với x 0, x y x 1 mà x, y y x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 y 2; x y 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x; y 1; ; 1;0 a b3 c ab bc ca 4) Cho a, b, c Chứng minh b c a Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số khơng âm ta có : a3 a3 ab 2 ab 2a 1 b b b3 c3 bc 2b ; ac 2c 3 a Tương tự ta có : c a b3 c ab bc ca 2a 2b 2c b c a Từ (1), (2) (3) 2 2 2 Lại có a b 2ab, b c 2bc, c a 2ac 2a 2b3 2c3 2ab 2bc 2ac a3 b3 c ab bc ca dfcm b c a Từ (4) (5) suy Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ đường thẳng BC , vẽ hình vng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Chứng minh E A J B F O C I H D G d) Tứ giác ABGF hình vng Ta có AB / / FG ( gt ), BG / / AF ( gt ) ABGF hình bình hành (1) Xét AEF AHB có : E H 90 , AE AH (ADHE hình vng) EAP HAB (cùng phụ với HAF ) AEF AHB(c.g c ) AB AF (2 cạnh tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy ABGF hình thoi mà BAF 90 gt nên ABGF hình vng e) Tứ giác DEHG hình thang Gọi I giao điểm BD, FG Xét BIG FID có : G D 90 , BIG FID (đối đỉnh) IF ID IB IG BIG ∽ GID(c.g.c) IDG IFB BIG ∽ FID ( g g ) Mà FB phân giác AFG 90 (tính chất hình vng) IFB 45 IDG 45 Lại có AHDE hình vng EHD 45 IDG EHD Mà IDG EHD vị trí so le nên GD / / HE HGDE hình thang f) Ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy Gọi O giao điểm HE , AD O trung điểm AD (tính chất hình vng) ADG có OH / / GD cmt , O trung điểm AD nên OH qua trung điểm J AG 3 mà tứ giác ABGE hình vng (cmt) BE qua trung điểm J AG (4) Từ (3) (4) ta có AG, BF , HE đồng quy J Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Kẻ NH CM H Kẻ HE AB E Chứng minh ABH cân HM tia phân giác BHE A E N M C H F B P D Dựng hình vng ABCD Xét ACM CDN có : AC CD (cạnh hình vng), A C 90 AM CN (nửa cạnh hình vng) ACM CDN c.g c ACM CDN (hai góc tương ứng) Mà MCD CDN 90 MCD CDN 90 CM ND Mặt khác NH CM gt N , H , D thẳng hàng Gọi P trung điểm DC Mà M trung điểm AB, ABCD hình vuông gt BM / / CP; BM CP BMCP hình bình hành MC / / BP Mà MC DH MC NH BP DH 1 Gọi I giao điểm BP, DH IP / / HC DHC có P trung điểm DC , IP / / HC cmt I trung điểm HD Từ (1) (2) suy BP trung trực HD BH BD Mà BD AB ( ABDC hình vng) BH AB ABH cân B (đpcm) Gọi F giao điểm HE , DC Ta có EF / / BD (cùng vng góc với AB) FHD HDB (so le trong) Mà BH BD(cmt ) BHD cân B BHD BDH (tính chất tam giác cân) BHD FHD HD phân giác HBE Mặt khác HM HD(cmt ) HM phân giác HBE HM phân giác BHE Câu (1,0 điểm) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh da giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác ba đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Vì đa giác có 2019 đỉnh tơ hai màu xanh đỏ nên có đỉnh liên tiếp màu (do 2019 lẻ) Khơng tính tổng qt, gọi đỉnh A B có màu xanh Gọi M đỉnh nằm đường trung trực AB MAB cân M +) M có màu xanh MAB cân có đỉnh màu xanh +) M có màu đỏ Xét đỉnh kề với A B C D MCD cân M -Nếu C D có màu đỏ MCD cân có đỉnh màu đỏ -Nếu C D có màu xanh ABD ABC cân có đỉnh màu xanh Vậy ln tồn tam giác cân có đỉnh màu ...ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) 4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 2019 x 20 18 x 2019 x 2019 x 20 18 x 2019 x x 2019 x 2019 x 2019 x x 1 x x 1 2019 x