UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ CHÍNH THỨC P ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x y x y x y 2xy : 1 xy xy xy a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x 2 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y x y x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) b) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vng Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x3 38x 5x Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 AM AI2 a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O/ ) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ( O ) F ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN AD c) ME.MA = MF.MD Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MƠN: TỐN LỚP Bài Đáp án ĐKXĐ: x 0; y 0;xy a) Mẫu thức chung – xy ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) xy x y 2xy P : xy xy Điểm 0,5 đ x x y y y x x x y y y x xy xy x y xy 0,5 đ b) a) x 0,5 đ 2( x y x) x (1 y) x (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) x 0,5 đ 2(2 3) ( 1) 43 2 0,5 đ x ( 1)2 0,5 đ P 2( 1) 32 ( 1) 0,5 đ P 2( 1) 13 52 0,5 đ x y Đồ thị y x có : 2 y x x x Đồ thị y x x x Đồ thị hình vẽ: 0,5 đ 0,5 đ 1đ b) Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) 0,5 đ Ta có: OM = 12 12 OM2 = ON = 32 (3)2 ON2 = 18 0,5 đ MN = (1 3) (1 3) 20 MN = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 6x 5x 38 x x 1 6(x ) 5(x ) 38 x x 1 Đặt y x thì: x y2 x x Ta pt: 6y2 – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 10 Do đó: y y 10 10 * Với y thì: x 3x 10x x x (3x – 1)(x – 3) = x2 5 * Với y thì: x 2x 5x x x3 (2x + 1)(x + 3) = x 2 2 A 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ B M J D C I Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD J Ta có AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 (1) AD2 AJ AI2 Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: AB = AD = a; DAJ BAM (góc có cạnh tương ứng vng góc) 0,5 đ 0,5 đ ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM 1 1 Thay vào (1) ta được: (đpcm) 2 AD AM AI a 0,5 đ 0,5 đ M E I F A H O B C D O/ N a) Ta có AEB CFD 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE EF OF EF => OE // O/F => EOB FO/ D (góc đồng vị) => EAO FCO/ Do MA // FN, mà EB MA => EB FN Hay ENF 900 Tứ giác MENF có E N F 90O , nên MENF hình chữ nhật b) c) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN INF Mặt khác, đường tròn (O/): IFN FDC sđ FC => FDC HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) => NHC DFC 90O hay MN AD Do MENF hình chữ nhật, nên MFE FEN Trong đường tròn (O) có: FEN EAB sđ EB => MFE EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF => , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ