051 đề HSG toán 9 vĩnh bảo 2013 2014

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ CHÍNH THỨC  P   ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x y x  y   x  y  2xy    : 1   xy   xy  xy   a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x  2 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y   x  y  x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) b) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vng Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x  5x3  38x  5x   Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1   AM AI2 a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O/ ) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E  ( O ) F  ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN  AD c) ME.MA = MF.MD Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MƠN: TỐN LỚP Bài Đáp án ĐKXĐ: x  0; y  0;xy  a) Mẫu thức chung – xy ( x  y)(1  xy)  ( x  y)(1  xy)  xy  x  y  2xy P :  xy  xy Điểm 0,5 đ x x y  y y x  x x y  y y x  xy  xy  x  y  xy 0,5 đ   b) a) x 0,5 đ 2( x  y x) x (1  y) x   (1  x)(1  y) (1  x)(1  y)  x 0,5 đ 2(2  3)      (  1) 43 2 0,5 đ x  (  1)2     0,5 đ P 2(  1) 32    (  1)    0,5 đ P 2(  1)   13 52 0,5 đ  x   y  Đồ thị y   x  có :  2  y   x   x x  Đồ thị y  x    x x  Đồ thị hình vẽ: 0,5 đ 0,5 đ 1đ b) Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) 0,5 đ Ta có: OM = 12  12   OM2 = ON = 32  (3)2   ON2 = 18 0,5 đ MN = (1  3)  (1  3)  20  MN = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 6x  5x  38    x x 1  6(x  )  5(x  )  38  x x 1 Đặt y  x  thì: x   y2  x x Ta pt: 6y2 – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 10 Do đó: y  y   10 10 * Với y  thì: x    3x  10x   x  x  (3x – 1)(x – 3) =   x2  5 * Với y   thì: x     2x  5x   x  x3    (2x + 1)(x + 3) =   x  2 2 A 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD J Ta có  AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1   (1) AD2 AJ AI2 Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: AB = AD = a; DAJ  BAM (góc có cạnh tương ứng vng góc) 0,5 đ 0,5 đ  ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM 1 1 Thay vào (1) ta được:    (đpcm) 2 AD AM AI a 0,5 đ 0,5 đ M E I F A H O B C D O/ N a) Ta có AEB  CFD  900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE  EF OF  EF => OE // O/F => EOB  FO/ D (góc đồng vị) => EAO  FCO/ Do MA // FN, mà EB  MA => EB  FN Hay ENF  900 Tứ giác MENF có E  N  F  90O , nên MENF hình chữ nhật b) c) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN  INF Mặt khác, đường tròn (O/): IFN  FDC  sđ FC => FDC  HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) => NHC  DFC  90O hay MN  AD Do MENF hình chữ nhật, nên MFE  FEN Trong đường tròn (O) có: FEN  EAB  sđ EB => MFE  EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF  => , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ