SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Mơn : Tốn Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014 Câu (4 điểm) Tìm số thực x thỏa x4 2x3 x2 2x 1 Câu (4 điểm) x3 2y Giải hệ phương trình: y 2x 1 Câu (4 điểm) m2 n Cho m n hai số nguyên dương lẻ thỏa n m 1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa điều kiện cho với m n 2) Chứng minh m2 n2 4mn Câu (4 điểm) 1) Tính số ước dương số 1000 2) Tính số ước dương chẵn số 1000 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc CAB, ABC, BCA góc nhọn Gọi (O) đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC D, E Gọi M giao điểm hai đường thẳng OB DE, gọi N giao điểm hai đường thẳng OC DE Chứng minh bốn điểm B, C, M, N thuộc đường tròn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu Chia vế cho x ta được: x4 2x3 x2 2x x 1 2 x 1 x x 1 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1 (1) x 1 (2) x x Giải (1) ta x 1 2 1 2 x (3) 2 Giải (2) vô nghiệm Vậy có hai giá trị x (3) thỏa toán Câu x 2y x3 y3 2x 2y y 2x 1 x y x y2 xy y x(1) x2 y2 xy (2) Với y = - x Khi x3 2x x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 0(3) Khi x = 1 y Giải (3) ta x 1 1 x 2 Với x 1 1 y 2 Với x 1 1 y 2 y 3y2 (2) x (vô nghiệm) 2 Hệ cho có nghiệm Câu 3.1 Với m = 11 n = 41 thỏa điều kiện tốn Vì m2 123 41 n2 1683 11 3.2 Vì m2 n mà n2 n nên m2 n2 n (1) Tương tự m2 n2 m (2) Gọi d ước chung lớn m n m2 n2 d Theo chứng minh m2 n2 m m2 n2 d d d 1(3) ; d lớn d = mâu thuẫn với m n lẻ Từ (1), (2) , (3) suy m2 n2 mn Cuối m lẻ nên m 2k (với k ) m2 4k(k 1) Tương tự n2 4l(l 1) (với l ) Suy m2 n2 Từ có điều phải chứng minh Câu 4.1 Ta có 1000 23.53 Gọi k ước dương 1000 Suy k 2n.5m với n, m thỏa n m Vậy số ước dương 1000 4.4=16 4.2 Gọi k ước dương chẵn 1000 Suy k 2n.5m với n, m n m Vậy số ước dương chẵn 1000 3.4=12 thỏa Câu A E M D B N O C Theo giả thiết AD = AE ADE cân A CEM AED 900 BAC Mà COM OBC OCB 900 BAC Vậy CEM COM COEM tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE AC từ BM CM Tương tự CN BN BCMN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG NAI 2013- 2014 Câu Chia vế cho x ta được: x4 2x3 x2 2x x 1 2 x 1... 3.4=12 thỏa Câu A E M D B N O C Theo giả thiết AD = AE ADE cân A CEM AED 90 0 BAC Mà COM OBC OCB 90 0 BAC Vậy CEM COM COEM tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE AC từ BM ... Giải (1) ta x 1 2 1 2 x (3) 2 Giải (2) vô nghiệm Vậy có hai giá trị x (3) thỏa toán Câu x 2y x3 y3 2x 2y y 2x 1 x y x y2 xy y