PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) a) Cho M (1 x 3 x 2 x 2 ):( ) x 1 x 2 3 x x 5 x 6 x Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P 3x 2013 5x 2011 2006 với x 2 18 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình a) ( x 3)( x 4)( x 5)( x 6) 24 b) | 2x x | = 2x x Câu 3: (4 điểm) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y y x 1 1 6 x y yz zx 1 Chứng minh rằng: x y z 3x y 3z x y 3z b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện biểu thức P sin cos Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD BF DF Câu 5: (1 điểm) Tìm n N* cho: n4 +n3+1 số phương 6 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) (4,5đ) a) ĐKXĐ: x 0; x 4; x (*) 1)Rút gọn M : Với x 0; x 4; x x 1 x x : M x x 2 x 2 x 3 (0,5đ) ( x 2)( x 3) x 2 ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2) : x 1 ( x 2)( x 3) x 1 : x ( x 4) x ( x 2)( x 3) x 2 x 1 Vậy M 2) M x 2 x 1 x 2 x 1 (với x 0; x 4; x ) (*) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 (2,5đ) x 1 (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x x U (3) Ư(3) 1;3 Vì x x x Nên x 1 1;3 Xảy trường hợp sau: (0,5đ) x x x (TMĐK (*) ) x x x (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b_ (0,25đ) x 2 18 (0,5đ) Có 18 (4 ) 2 ( 1) 1 (0,25đ) x 2 2 x ( 1) x ( 1) 1 1 (0,75đ) Với x = 1.Ta có P 3.12013 5.12011 2006 2006 2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x 3)( x 6)( x 4)( x 5) 24 ( x x 18)( x x 20) 24 (1) Đặt x x 19 y (1) ( y + 1)(y – ) – 24 = y2 – 25 = ( x x 24)( x x 14) ( x 2)( x 7)( x x 24) Chứng tỏ x x 24 Vậy nghiệm phương trình : x 2; x 7 b Ta có x x ( x x 1) ( x 1) pt trở thành : x x x x x 1 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Câu 3: (4 điểm) a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1 Tìm GTNN biểu thức: M = x y y2 x x4 y x2 y 2 M = x y = x y 2 x y x2 y y x 2đ x y 2 1 2 x2 y xy 2 x y xy xy 15 Ta có: xy xy xy 16 xy 16 xy 0,5 0, 1 1 xy (1) * 16 xy 16 xy x y 1 1 15 15 xy xy 4 (2) 2 xy 16 xy 16 16 xy * Ta có: xy Từ (1) (2) xy 15 15 17 xy xy 16 xy 16 xy 4 17 289 Vậy M = xy xy 16 xy xy 16 xy 4x y Dấu “=” xảy (Vì x, y > 0) x y x y Vậy M = 0,5 0,25 0,25 289 x = y = 16 0,5 b 1 6 x y y z z x Cho x, y số dương thỏa mãn: 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z 1 Áp dụng BĐT a b a b Ta có: 11 1 ab 4 a b (với a, b > 0) 2đ 0.5 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z 1 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z 1 1 x y z 16 x z x y y z Tương tự: 1 1 x y 3z 16 y z x y x z cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 3x y z 3x y 3z x y 3z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z 0,5 0,5 0,5 0,5 Caai 4: (5 điểm) B D I O C 0,25 H E P A Q F BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA 0,75đ Nối OE, BEF vuông B; BA EF nên AB2 = AE AF AE AB AE AB AE AB 1 AB AF OA AQ AB AF 2 Vậy AEO ABQ(c.g.c) Suy ABQ AEO mà ABQ P1 (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên AEO P1 , mà hai góc đồng vị => PH // OE Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy H trung điểm OA Ta cã: P sin cos6 sin co s 0,25đ 0,75đ P sin cos sin sin cos cos 0,75đ 2 P sin cos2 3sin cos2 3sin cos 0,5đ Ta cã: sin cos2 4sin cos2 4sin cos2 sin cos2 2 Suy ra: P 3sin cos Do ®ã: Pmin vµ chØ khi: 4 4 0,25đ 0,25đ sin cos2 sin cos (vì sin tg 450 cos Khi CD vng góc với AB gãc nhän) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có ACB ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên ACB ADB 900 => ADBC hình chữ nhật 0,25đ Ta có: CD2 = AB2 = AE AF => CD4 = AB4 = AE2 AF2 = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF AB3 = CE.DF.EF Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE BF DF BF FA.EF AF BF AF DF BF Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 0,25đ n4 n3 1 n2 K n 2Kn K (K N * ) n 2Kn K n (n 2k) K Mà K 1 n K n K Nếu K K n (n 2) n Thử lại 23 52 ( thỏa mãn) Khi K K K n K n n 2k mâu thuẫn với điều kiện n n 2K K Vậy n = (1đ) ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) (4,5đ) a) ĐKXĐ: x 0; x 4; x (*)... 1.Ta có P 3. 12013 5.12011 2006 2006 2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x 3)( x 6)( x 4)( x 5) 24 ( x x 18)( x x 20) 24 (1) Đặt x x 19 y (1) ... 16 xy 4 17 2 89 Vậy M = xy xy 16 xy xy 16 xy 4x y Dấu “=” xảy (Vì x, y > 0) x y x y Vậy M = 0,5 0,25 0,25 2 89 x = y = 16 0,5 b 1