Đề HSG toán 9 Thành Phố Huế 11-12

Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HUẾ MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: A = 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 : 6 15 x x x x x x x                   với 0 x  a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình: 2 2 1 2 2 1 1 x x      b) Xác định m Z  để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số nguyên: 3 ( 1) 1 ( 1) 3 x m y m m x y           Bài 3: (1,5 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a 2 + b 2 = ab Chứng minh a + b  4ab. Khi nào thì dấu bằng xãy ra ? Bài 4: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh: sinA = 2 sinB.cosC Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (  0 A = 90 ) nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao AH. Gọi E, F tương ứng là hình chiếu của H trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD. Chứng minh: a) AD EF  b) AH 2 = AJ.AD c) Biết tam giác ABC có  0 B 60  và cạnh AB = 4cm. Tính diện tích tam giác HJD. HẾT Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI (Gợi ý này chỉ dùng để tham khảo) Bài 1: A = 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 : 6 15 x x x x x x x                   với 0 x  a) Đặt 2 2 x 2 x        = y Ta có:   2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 4 x x x x x x x                                     2 2 4 2 2 4 2 6 15 x x x x                 =   2 2 2 2 x 2 y 4 6y 15 y 2y 1 y 1 1 x                  = 4 2 2 4 2 2 2 x 4x 4 x x 3x 4 x x       A      2 2 2 2 4 2 2 2 2 x x 2 x x x 2 1 x x 3x 4 x x 2 x x 2 x x 2                vì x 2 - x + 2 > 0 b) A có GTLN khi x 2 - x + 2 có GTNN Mà x 2 + x + 2 = (x + 1) 2 + 1  1 dấu "=" xãy ra khi x = -1  GTLN A = 1 1 = 1khi x = -1 Bài 2: a) Giải phương trình: 2 2 1 2 2 1 1 x x      Giải: Đặt 2x 1 y   . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y y y y x y                 2x 1 0 y 0 1 y y 1 0 x 0; ;1 2x 1 1y 1 2                    b) Xác định m Z  để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số nguyên: 3 ( 1) 1 ( 1) 3 x m y m m x y                    2 2 3x m 1 y m 1 m 4 x 2m 4(*) m 1 x m 1 y 3m 3                   Hệ có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất 2 m 4 0 m 2       Khi m 2   : (*) 2 2m 4 2 x m 4 m 2       Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận   2 3 m 1 y m 1 m 2              2 m 1 m 4 m 3m 4 m 1 y m 2 m 2               m 1 m 4 1 m 4 y m 2 m 1 m 2           Để x, y 2 m 2 1; 2 Z m 2 Z m 2 1; 2 2 m 4 1 Z Z m 2 m 2 m 1; 3; 4                                      Vậy với m= -1;-3;-4 (thỏa m 2   ) thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc Z Bài 3: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a 2 + b 2 = ab Chứng minh a + b  4ab. Khi nào thì dấu bằng xãy ra ? Giải: Ta có: a 2 + b 2  2ab 2 2 2(a b ) 4ab    Theo đề bài: a 2 + b 2   2 2 ab 2 a b 2 ab     Vì   2 a b 0 a b 2 ab      Suy ra a + b  2(a 2 + b 2 )  4ab Vậy a + b  4ab. Dấu "=" xãy ra khi a b a b a b          Bài 4: Ta có: a CH HB 2   ; sinA = 2 AH a. BD BD asin C a.AH b AB b b b b     (1) sinB = AH b , cosC = CH a b 2b  2 AH a a.AH 2sin B.cosC 2 b 2b b      (2) Từ (1), (2) suy ra sinA = 2sinB.cosC Bài 5: a) Ta có: AEHF là hình chữ nhật a b b D H CB A Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận    2 2 E H  mà     0 1 2 1 2 E E H H 90       1 1 E H     EAJ ABO  ( OAB  cân tại O)     0 1 1 EAJ E B H 90 AD EF        b) AJE  ∽ ABD  (  A chung,  0 J B 90    ) AJ AE AJ.AD AB.AE AB AD     (1) ABH  có HE là đường cao  AB.AE = AH 2 (2) Từ (1), (2)  AH 2 = AJ . AD c)  0 B = 60 ΔABO  đều  OH = BH = 2 HKO   có: HK = OH . sinO = 2 . sin60 0 = 3 2 3 2   ABC   có AB = 4; BC = 8  AC 4 3  . 2 3 AB AC AH BC   ABH   có:   2 2 2 3 3 4 AH AE AB    AEJ   có: AJ = AE . cos60 0 = 3 . 1 2 = 1,5  JD = AD – AJ = 8 – 1,5 = 6,5 . 3.6,5 3,25 3 2 2 HJD HK JD S    (cm 2 ) . Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HUẾ MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Cho biểu. THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận    2 2 E H  mà     0 1 2 1 2 E E H H 90       1 1 E H     EAJ ABO  ( OAB  cân tại O)     0 1 1 EAJ E B H 90 AD EF . chung,  0 J B 90    ) AJ AE AJ.AD AB.AE AB AD     (1) ABH  có HE là đường cao  AB.AE = AH 2 (2) Từ (1), (2)  AH 2 = AJ . AD c)  0 B = 60 ΔABO  đều  OH =