Tuyen tap de HSG Toan 9(bo pass..)

Tuyển chọn đề thi HSG toán 9 Sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 1 trang Cõu 1:(2 i m) 1) Tính: 9 17 9 17 2A = + + 2) Tính: ( ) ( ) 6 2 10 5 3 2 3B = + . 3) Cho 1 2 2009 1 2008 1C = và 2 2 2.2009 2009 1 2008 1 D = + . Không dùng máy tính hãy so sánh C và D . Câu 2: (2điểm) 1) Cho đa thức ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + + . Tìm x để ( ) 2010f x = 2) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y z 6 xy yz zx 1 x y z 14 + + = + = + + = Câu 3: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( ) 1;1 và điểm A di động ( ) A m;0 1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( ) m d vuông góc với AB tại A. 2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( ) m d đồng qui. 3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( ) m d đi qua Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD. a) Tính số đo góc NEB. b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (1điểm) Cho các số 1 2 2009 , a , . . . ,a a đợc xác định theo công thức sau: = + + + n 2 a (2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, , 2008. Chứng minh rằng: < 1 2 2009 2008 a + a + . . . + a 2010 Hết Sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: Hớng dẫn chấm gồm . . . trang H ớng dẫn chấm Câu Phần Nội dung Điể m 9 17 9 17 2A = + + ( ) 2 9 17 9 17 2 2 + + = 18 2 17 18 2 17 4 2 + + = ( ) ( ) 2 2 17 1 17 1 2 2 + + = 0,25 ( ) ( ) 2 17 1 17 1 17 1 2 2 17 2 2 17 1 2 2 2 + + = = = = 0,25 ( ) ( ) 6 2 10 5 3 2 3B = + ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2. 2 3= + ( ) ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2 2 3= + ( ) ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3 3 1= + 0,25 ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3= + ( ) ( ) 4 2 3 10 5 3= + ( ) ( ) 10 2 3 2 3= + 10 = 0,25 1 2 2009 1 2008 1C = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 + = + ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 = + 0,25 2 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 − − + = − + − ( ) ( ) 2 2 2009 2008 2009 2008 2009 1 2008 1 − + = − + − 2 2 4017 2009 1 2008 1 = − + − 0,25 Mµ 4017 4018 2.2009< = ⇒ 2 2 4017 2009 1 2008 1− + − < 2 2 4018 2009 1 2008 1− + − 0,25 VËy C < D 0,25 Ta cã ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + + ⇒ ( ) ( ) 3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 . 1 .3f x x x= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 . 1 . 2 1x x x x= − + − + − + + + + − −    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 . 1 . 1 2x x x x x x= − + − + − − − − − + + + + ( ) ( ) . 1 2x x x= + + ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 . 1 2 3 f x x x x= + + 0,25 §Ó ( ) 8f x = ⇔ ( ) ( ) 1 . 1 2 8 3 x x x+ + = ⇔ ( ) ( ) . 1 2 24x x x+ + = ⇔ 3 2 3 2 24 0x x x+ + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 10 12 24 0x x x x x− + − + − = 0,25 ⇔ ( ) ( ) 2 2 5 12 0x x x− + + = ⇔ 2 2 0 5 12 0 x x x − =   + + =  ( ) ( ) 1 2 0,25 Gi¶i ph¬ng tr×nh ( ) 1 ta ®îc x = 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh ( ) 2 V« nghiÖm VËy víi x = 2 th× ( ) 8f x = . 0,25 2 2 2 x y z 6 (1) xy yz zx 1 (2) x y z 14 (3) + + =   + − = −   + + =  (1) ⇒ (x + y + z) 2 = 36 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇒ xy + yz + zx = 11 (kÕt hîp víi (3)) (2) ⇒ xy + yz = zx – 1 ⇒ xy + yz + zx = 2zx – 1 ⇒ 2zx = 12 ⇒ zx = 6 0,25 xy + yz = 5 y(x + z) = 5 (4) Mà y + x + z = 6 x + z = 6 y (4) y(6 y) = 5 y(6 y) = 5 (y 1)(y 5) = 0 y 1 y 5 = = 0,25 +) Với y = 1 thì (4) x + z = 5 x = 5 z mà zx = 6 (5 z)z = 6 (z 2)(z 3) = 0 z 2 x 3 z 3 x 2 = = = = 0,25 +) Với y = 5 thì (4) x + z = 1 x = 1 z mà zx = 6 (1 z)z = 6 (z 1 2 ) 2 = 23 4 (phơng trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là { } S (3; 1; 2),(2; 1; 3)= 0,25 Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d) A, B (d) nên = y 1 x 1 (m 1) 0 1 m 1 = + = x 1 1 y m 1 m 1 my y x 1 = = y(1 m) x m 1 m y x 1 m 1 m 0,25 Gọi phơng trình họ đờng thẳng ( ) m d là y = ax + b Vì ( ) m d AB tại A nên a.a = - 1 = 1 .a ' 1 1 m a = m 1 y = (m 1)x + b 0,25 Vì ( ) m d đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m 1)m + b Vậy họ đờng thẳng ( ) m d cần tìm là: y = (m 1)x + (m m 2 ) (m 1) 0,25 Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (d m ) đồng qui tại điểm (x o ; y ô ) y o = (m 1)x o + (m m 2 ) m 2 m(x o + 1) + x o + y o = 0 0,25 Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2 nghiệm Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua điểm (x o ; y o ) Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d m ) đồng qui. 0,25 Gọi các điểm N(x 1 ; y 1 ) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua y 1 = (m 1)x 1 + m m 2 m 2 m(x 1 + 1) + x 1 + y 1 = 0 0,25 Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua N nên phơng trình trên chỉ có 1 nghiệm. = 0 ( ) ( ) 2 1 1 1 x + 1 - 4 x + y = 0 0,25 = 2 1 1 (x 1) y 4 Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol = 2 1 1 (x 1) y 4 0,25 Vẽ hình đúng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I. 0,25 Do DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính. 0,25 Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB 0,25 Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định. 0,25 = + + + n 2 a (2n 1)( n n 1) + + = < = + + + + 2( n 1 n ) 2( n 1 n) 1 1 n 1 n 2 n(n 1) n n 1 0,25 Do đó + + + < + + + = 1 2 2009 1 1 1 1 1 1 a a 1 2 2 3 2009 2010 1 1 2010 0,25 Mặt khác: ( ) + = ữ = = > 2 2008 1 2008 2009 2010 2009 2010 1 2010 2009 2010 2009 2009 1 2010 2 2009 0 2010 2009 2010 2009 0,25 nên < 1 2008 1 2010 2009 . Vậy < 1 2 2009 2008 a + a + . . . + a 2010 0,25 Câu Nội dung cần trình bày Điểm 5 3 điểm Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB. +) Xét DCP và DBE có: ã ã =DCP DB E (so le trong) DC = DB (AD là trung truyến của ABC) ã ã =CDP BDE (đối đỉnh) DCP = DBE (g.c.g) CP = BE (1) +) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác của à A nên MNAP là hình vuông. AN = AP CP = BN (2) Từ (1) và (2) BE = BN BEN cân ã = 0 NEB 45 +) Gọi O là trung điểm của EN. Ta có BEN và EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O. Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K. 0,25 0,25 Khi đó: ã ã = 1 OHN KON 2 ( ã KON góc ngoàicủa tam giác cân OHN) ã ã = 1 OHB KOB 2 ( ã KOB góc ngoài của tam giác cân OHB) ã ã OHN OHB = ã ã ( ) = 0 1 1 KON KO B .90 2 2 ã = 0 BHN 45 Vậy có ã ã = = 0 BHN BEN 45 (3) Chứng minh tơng tự ta có: ã ã = = 0 NHA NPA 45 (4) Từ (3) và (4) có ã = 0 AHB 90 và NH là đờng phân giác của góc ã AHB Gọi H là hình chiếu của H trên AB. Khi đó SAHB = 1 AB.HH' 2 Do đó SAHB lớn nhất khi HH lớn nhất. Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhất khi nó bằng bán kính, tức là khi H D. Khi đó M D. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 [...]... 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình đúng 0,25 Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB +) Xét DCP và DBE có: ã ã DCP = DBE (so le trong) 0,25 DC = DB (AD là trung truyến của ABC) ã ã CDP = BDE (đối đỉnh) DCP = DBE (g.c.g) CP = BE (1) +) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân à giác của A nên MNAP là hình vuông AN = AP CP = BN (2) 0,25 Từ (1) và (2) BE = BN . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 a b a b a ab b ab a b b a + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 a b a a b a b a a a b b a + + + + + = + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1a b b a+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a a b b ab a b A a b b a + + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 a a a b b b ab a b a b b a + + + + 0,25 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 5 3 2 3B = + ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2. 2 3= + ( ) ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2 2 3= + ( ) ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3 3 1= + 0,25 ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3= + ( ) ( ) 4 2 3 10 5 3= + ( ) ( ) 10 2 3 2 3= + 10 = 0,25 1