Tuyển tập đề thi Toán 9 HSG

Toán Đề 1 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn : Toán Đề môn Đ1 (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho a, b, c, d là bốn số dơng. Chứng minh : cb a + + dc b + + ad c + + ba d + 2 Bài 2: Giải các phờng trình và hệ phơng trình sau: a, 3 2 x + 1 x = 1 b, =+ =+ =+ 2 2 2 2 2 2 yxz xyz zxy Bài 3: Cho ABC có A > 90 0 Gọi R, r là độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp ABC ; gọi M, N, P lần lợt là hình chiếu tâm 0 đờng tròn ngoại tiếp ABC trên AB, BC và AC. a, Chứng minh : BN.OM + BM.ON = BO . MN b, Đặ t ON = d 1 ; OP = d 3 ; OM = d 2 Tính R + r theo d 1 , d 2 , d 3 . Bài 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, trên hai cạnh AB, AD lần lợt lấy hai điểm M, N sao cho chu vi AMN là 2a. Tìm vị trí của M, N để diện tích ABC đạt giá trị lớn nhất . Đáp án Đ1 đáp án và biểu chấm môn Hoá lớp 9 Đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9 Đ2 Đ2 Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh với x, y > 0 ta có xy 1 ( ) 2 yx 4 + (*) ( 0,5 đ ) VT = da c cb a + + + + ba d cd b + + + ( 0,5 đ ) = ( ) ( ) ( ) cdab dc 2 d 2 bba dacb 2 ccbad 2 a ++ +++ + ++ +++ )( ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) 4 . ( ) ( ) 2 dcba dc 2 d 2 bba 4 2 dcba 2 ccbad 2 a +++ +++ + +++ +++ ( theo *) = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dcba 2 db 2 ca 2 dcba +++ +++++ ( 0,5 đ ) 2 ( 0,5 đ ) Bài 2: a/ ( 4 điểm) Đặt a = 3 x2 b = 1x 0 ( 0,5 đ ) Ta có : ( ) I 1ba 1 2 b 3 a =+ =+ ( 0,5 đ ) a 3 + a 2 - 2a = 0 ( 0,5 đ ) a ( a 2 + a -2) = 0 ( 0,5 đ ) =+ = 02a 2 a 0a ( 1 đ) Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3) ( 0,5 đ ) nên phơng trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10 ( 0,5 đ ) b, ( 4,5 đỉêm) ( ) ( ) =+ =+ =+ (3)2 2 yxz 22 2 xyz 12 2 zxy Từ (1) ; (2) ta có : (x z)(x y + z) = 0 (4) ( 0,5 đ ) Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y z) = 0 (5) ( 0,5 đ ) Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ : ( ) ( ) ( )( ) =+ =+ =+ 2 2 yxz 0zyxxy 0zyxzx ( 0,5 đ ) Để giải hệ trên ta giải 4 hệ ( ) ( ) B 2 2 yxz 0zyx 0zx A 2 2 yxz 0xy 0zx =+ =+ = =+ = = ( ) ( ) D 2 2 yxz 0zyx 0zyx C 2 2 yxz 0zyx 0xy =+ =+ =+ =+ =+ = Giải 4 hệ trên ta đợc 8 bộ nghiệm của hệ phơng trình : (1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ( ) 2;0;2 ; ( ) 2;0;2 ( ) 0;2;2 ; ( ) 0;2;2 ; ( ) 2;2;0 ; ( ) 2;2;0 Giải ra mỗi bộ nghiệm cho ( 0,25 điểm) Bài 3: a, Ta có BM0 = BN0 = 90 0 => OMBN là tứ giác nội tiếp Trên BO lấy E sao cho BME = OMN => BME NMO ( 0,5 đ ) => NO NM BE BM = ( 0,25 đ ) => BM . NO = BE . NM ( 0,25 đ ) Chứng minh tơng tự BN. OM = OE .MN ( 0,5 đ ) Cộng theo từng vế BM .ON +BN . ON = MN . BO ( 0,5 đ ) b. Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của ABC theo câu a ta có d 1 . 2 a + d 2 2 c = R . 2 b ( 0,5 đ ) áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có d 1 . 2 b + d 3 . 2 c = R. 2 a ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ ) 0 B N 0 d1 A M D E d3 d2 C d 3 . 2 a + d 2 . 2 b = R. 2 c ( 0,25 ® ) Céng theo tõng vÕ : 2 R . ( a+b+c) = 2 1 . ( d 1 b + d 2 b + d 3 c + d 3 a + d 1 a + d 2 c) ( 0,5 ® ) mÆt kh¸c S ABC = 2 r . ( a+b +c ) = 2 1 .( d 1 c + d 3 b + d 2 a ) ( 0,5 ® ) Do ®ã ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d 1 +d 2 +d 3 ) ( 0,5 ® ) hay R + r = d 1 + d 2 + d 3 ( 0,5 ® ) Bµi 4: (2,5 ®iÓm) §Æt AM = x , AN = y ( x, y > 0 ) ( 0,25 ® ) Ta cã x + y + 22 yx + = 2a ( 0,25 ®) mµ x + y ≥ 2 xy x 2 + y 2 ≥ =2xy ( 0,5 ® ) Nªn x + y + 2 y 2 x + ≥ ( 2 + 2 ) xy ( 0,25 ® ) Hay 0 < xy ≤ 22 2 + a => xy ≤ a 2 )22( 2 )2( + a ( 0,25 ® ) MÆt kh¸c S AMN = 2 1 AM . AN = 2 1 xy ( 0,25 ® ) Nªn S AMN ≤ 2 )22( 2 )2( + a = ( 3 – 2 2 ) a 2 kh«ng ®æi ( 0,25 ®) => S AMN max = ( 3 – 2 2 ) a 2 <=> AM = AN = ( 2- 2 ). a ( 0,5 ® ) §Ò 2 §Ò thi häc sinh giái líp 9 §Ò m«n §3 môn : toán (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1 ( 6 điểm): a, Giải phơng trình sau: (x + 4) 4 = 2.(2x +13) 2 + 50.(2x+13) (3điểm) b, Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng :( 1+a).(1+b).(1+c) 8( 1- a).(1- b).(1- c) ) (3điểm) Bài 2: (4 điểm) : Cho phơng trình: x - 2 x1 = m Với giá trị nào của m thì phơng trình trên có nghiệm duy nhất. Bài 3: ( 4 điểm) :Biết các số dơng x , y , z thoả mãn hệ phơng trình: =++ =+ =++ 16 2 xxz 2 z 9 2 z 3 2 y 25 3 2 y xy 2 x Tính giá trị biểu thức A = xy + 2yz + 3xz Bài 4: (6 điểm) Cho nửa ( 0; R) đờng kính A B. C là điểm bất kì trên nửa đờng tròn, kẻ CH vuông góc với AB; I và K là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác CAH và CHB. Đờng thẳng IK cắt CB; CA tại N và M . HI cắt CA tại E; HK cắt CB tại F a, Chứng minh MN // EF b, Xác định vị trí của C để S CMN đạt giá trị lớn nhất. Đáp án Đ2 đáp án và biểu chấm môn Hoá lớp 9 Đáp án và biểu điểm chấm Đ2 H3 môn : toán 9 Bài 1: ( 3 điểm) a; Giải phơng trình (x +4) 4 = 2(2x +13) 2 +50 (2x +13) Đặt 2 5 y4xy 2 132x =+= + ( 0,25 đ ) (1) 100y16y) 2 5 (y 34 += ( 0,5 đ ) (**)0) 4 25 (y16y) 2 5 (y 24 =+ ( 0,25 đ ) Đặt ty = 2 ) 2 5 ( (**) trở thành : t 2 - 16yt - 80 y 2 = 0 ( 0,25 đ ) ( )( ) = = =+ 20yt 4yt 020yt4yt ( 0,5 đ ) Với t = - 4y 0 4 25 y 2 y =+ phơng trình vô nghiệm ( 0,5 đ) Với t = 20 y 0 4 25 25y 2 y =+ Giải phơng trình có nghiệm y 1 = 2 61025 y 2 = 2 61025 + ( 0,5 đ ) Từ đó suy ra x 1 = 6 - 25 x 2 = 6 + 25 ( 0,5 đ ) b, Ta có : a + b + c = 1 a = 1 b c ( 0,5 đ ) 1 + a = 1 - b +1 - c ( 0,5 đ ) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dơng 1 b ; 1 c Ta có: 1 + a = 1 - b +1 - c c)b)(1(12 ( 0,5 đ ) Tơng tự ta có : 1 + b c)a)(1(12 ( 0,5 đ ) 1 + c b)a)(1(12 ( 0,5 đ) Do đó c)b)(1a)(18(1c)b)(1(1a)(1 +++ ( 0,5 đ ) Bài 2 ( 4 điểm ): Ta có : x - 2 x1 = m (1) =+ = (2)01m2mx2x mx x1mx 22 2 ( 0,5 đ ) Để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì phơng trình (2) có nghiệm x 0 thoả mãn x 0 m ( 0,5 đ ) Đặt x m = y myx += Thay vào phơng trình (2) ta có: 2y 2 + 2my + m 2 -1 = 0 (3) ( 0,5 đ ) Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất phơng trình (3) có 1 nghiệm y 0 ( 0,5 đ) Có 3 trờng hợp : Phơng trình (3) có nghiệm kép không âm 2m 0m 02m 0S 0 2 = =+ > = ( 0,5 đ) Phơng trình 3 có hai nghiệm trái dấu P< 0 P = 1m10 2 1m 2 <<< ( 0,5 đ ) * Phơng trình (3) có 1 nghiệm bằng 0; nghiệm còn lại âm 1m 0m 01m 0S 0P 2 = < = < = ( 0,5 đ Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất m = 2 ; -1 < m 1 Bài 3 ( 4 điểm ):Từ gt cộng theo từng vế phơng trình thứ (2) và thứ (3) Ta có : 3 y xyx2525xxzzz 3 y 2 2222 2 ++==++++ ( 0,5 đ ) => 2z 2 = x( y z ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) Mặt khác 12.( ).z+ 3 y 2 2 ( z 2 + xz + x 2 ) A 2 ( 0,5 điểm ) = 4z 4 + x 2 y 2 + 4xz 3 + x 2 z 2 - x 2 yz 4xyz 2 ( 0,5 điểm ) = [ ] z)x(y4x4zz)(yx 24 2 + ( 0,5 điểm ) Do đó : A 2 - 12.( ).z+ 3 y 2 2 ( z 2 + xz + x 2 ) = 0 ( 0,5 điểm ) Vậy 12.16.9 = ( xy+ 2yz + 3xz ) 2 ( 0,5 điểm ) do x, y, z > 0 => A = xy + 2yz + 3xz = 24 3 ( 0,5 điểm ) Bài 4: (6 điểm) a, Ta có tứ giác CEHF nội tiếp ( 0,5 điểm ) => CFE = CHE = 45 0 => CFE vuông cân ( 0,5 điểm ) => CE = CF => I là tâm đờng tròn nội tiếp => CI là phân giác => IH IE = CH CE ( 0,5 điểm ) Tơng tự KH KE CH CF = ( 0,5 điểm ) Do đó = KH KF IH IE IK // EF ( 0,5 điểm ) hay EF // MN ( 0,5 điểm ) b, Ta có EF // MN ; EMF cân => CMN vuông cân ( 0,5 điểm ) S CMN = CN.CM 2 1 = 2 CM 2 1 ( 0,5 điểm ) S CMN max <=> CM max ( 0,5 điểm ) CMI = CHI ( c. g. c ) => CH = CM ( 0,5 điểm ) => Do đó : S CMN max <=> CH max Mặt khác CH CO = R không đổi ( 0,5 điểm ) Nên S CMN max = 2 R 2 1 <=> C là điểm chính giữa của cung AB ( 0,5 điểm ) A B H F N C M K I O Đề 3 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn : toán Đề môn Đ2 (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1( 5 điểm): a, ( 3 điểm): Cho x, y là các số thực thoả mãn. x 2 ( x 2 + 2y 2 3 ) + ( y 2 2) 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 b, ( 3 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 < n 1 3 Bài 2: ( 6 điểm) a, ( 2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x + y + z = xyz b, ( 4 điểm): Giải hệ phơng trính sau: x + y + z = 6 xy + yz - zx = 7 x 2 + y 2 + z 2 = 14 Bài 3( 6 điểm): Cho ( O; R); CD là một dây cung cố định . Trên tia đối của tia CD lấy M bất kỳ . Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn ( A, B là tiếp điểm ). a, Chứng minh khi M thay đổi thì đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định . b, Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB , AD lần lợt tại N, K. Chứng minh NC = NK. Bài 4: Giả sử h 1 ; h 2 ; h 3 là độ dài các đờng cao của ABC , r là bán kính đờng tròn nội tiếp. Biết: h 1 + h 2 + h 3 = 9r Chứng minh: ABC đều . §¸p ¸n §3 ®¸p ¸n vµ biÓu chÊm m«n Ho¸ líp 9 §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm m«n : to¸n 9 §2 H2 Bµi 1: a, Ta cã : x 2 ( x 2 + 2y 2 – 3 ) + ( y 2 – 2) 2 = 1 ( 0,25 ®iÓm ) <=> x 4 + 2x 2 y 2 - 3x 2 + y 4 + 4y 2 + 4 = 1 ( 0,25 ®iÓm ) <=> ( x 2 + y 2 ) 2 - 4 ( x 2 + y 2 ) 2 + 3 = - x 2 ( 0,5 ®iÓm ) §Æt x 2 + y 2 = A ( 1 ) <=> A 2 – 4A + 3 ≤ 0 ( v× -x 2 ≤ 0) ( 0,5 ®iÓm ) <=> ( A-1) ( A- 3) ≤ 0 ( 0,5 ®iÓm ) <=> A ≥ 1 A ≤ 3 <=> 1 ≤ A ≥ 3 ( 0,25 ®iÓm ) VËy Amin = 1 <=> x= 0 y= 1± ( 0,5 ®iÓm ) A max =3 <=> x= 0 y= 3± ( 0,5 ®iÓm ) b, Ta cã : 1)+1)k(k-(k 1 = 1) -k.(k 1 < k.k 1 = k 1 223 mµ )1k(k)1k(2 )1k()1k( )1k(k)1k(2 2 1)1)k(k-(k 1 +− −−+ = +− < +       + − − = )1k(k 1 k)1k( 1 2 1 Do ®ã < 3 k 1       + − − )1k(k 1 )1k(k 1 2 1 ( 0,5 ®iÓm ) ¸p dông víi k = 2 ta cã ) 3.2 1 1.2 1 ( 2 1 2 1 3 −< ( 0,5 ®iÓm ) Víi k = 3 ta cã ) 4.3 1 2.3 1 (. 2 1 3 1 3 −< ( 0,5 ®iÓm ) ……………………………………… Víi k = n ta cã ) 1n(n 1 )1n(n 1 ( 2 1 n 1 3 + − − < ( 0,5 ®iÓm ) [...]... 2 + h 3 ) = (a + b + c)( + + ) r a b c ( 0,5 điểm ) h1 + h 2 + h 3 = 9r 1 1 1 (a + b + c).( + + ) = 9 a b c ( 0,25 điểm ) Mặt khác a, b, c > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có a + b + c 3 3 a.b.c 1 1 1 1 + + 33 a b c abc ( 0,25 điểm ) 1 1 1 (a + b + c).( + + ) 9 a b c ( 0,25 điểm ) Du = xẩy ra a = b = c hay ABC đều Vật Lý Đề 1 ( 0,25 điểm ) ( 0,25 điểm ) ... (x + y + z )2 2(xy + yz + zx) = 14 x+y+z =6 xy + yz - zx = 7 ( 0,5 điểm ) xy + yz + xz = 11 Suy ra x.z = 2 Ta có : x + y + z = 6 y( x + z ) = 9 ( 0,5 điểm ) ( 0,25 đ ) y+(x+z)=6 y(x+z) =9 (0,5 điểm ) y và ( x + z ) là nghệm của phơng trình : X2 6X + 9 = 0 ( 0,25 điểm ) X = 3 ( 0,25 điểm ) Vậy y = x + z = 3 Ta có x+z= 3 x.z = 2 ( 0,25 điểm ) x, z là nghiệm của phơng trình : a2 3a + 2 = 0 . Toán Đề 1 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn : Toán Đề môn Đ1 (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho a, b, c, d là bốn số dơng. Chứng. cung AB ( 0,5 điểm ) A B H F N C M K I O Đề 3 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn : toán Đề môn Đ2 (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1( 5 điểm): a, ( 3 điểm): Cho x,. <=> AM = AN = ( 2- 2 ). a ( 0,5 ® ) §Ò 2 §Ò thi häc sinh giái líp 9 §Ò m«n §3 môn : toán (Học sinh làm bài trong 150 không kể thời gian giao đề Bài 1 ( 6 điểm): a, Giải phơng trình sau: (x