Tuyen tap de thi toan hsg 11

Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 Đề số 1 Câu I. Cho phơng trình: 0 2 21 sin 21 cos =+ m x x x x . Với m là tham số. 1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm ) 2 1 ;50( x của phơng trình. 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm ) 2 1 ; 2 1 ( + x . Câu II. Biết rằng số đo ba góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2. Gọi (O; R) là đờng tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC. 1) Tính độ dài đoạn OG theo R. 2) Biết R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số sau dấu phẩy). Câu III. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2 34 2 sin) 2 cos 2 (cos32 + =++ ACB . Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC. Câu IV. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi 111 ,, CBA thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. 1) Chứng minh rằng tam giác 1 A 1 B 1 C là tam giác nhọn. 2) Biết số đo ba góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi là số đo của góc nhị diện [ ] 111 ,, BOAC ; tìm cos theo B và C. 3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong ba độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài ba đờng cao của tam giác ABC. Chứng minh: hdh < 3 6 . Hết Đề số 2 Câu I. Giải các phơng trình sau: 1) 42sin.22sin 22 =++ xtgxxxtg . 2) [ ] x x =+ + 13log )13(log 4 4 . Câu II. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có: 1) 2 cos 2 A cb bc l a + = . 2) 2 9R lll cba ++ . trong đó a l , a l , a l lần lợt là độ dài các đờng phân giác trong của các góc A, B, C ; BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu III. Cho góc tam diện vuông Oxyz( Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc). Trên các tia Ox, Oy, Oz ta lấy lần lợt các điểm M, N, P không trùng với O. Đặt === NPOMPOMPN ,, . Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 1) Chứng minh tam giác MNP có 3 góc nhọn. 2) Chứng minh: cos.coscos = . 3) Giả sử P cố định còn M, N lần lợt di động trên Ox, Oy tơng ứng sao cho OP = OM + ON. Chứng minh rằng: 2 =++ . Câu IV. Chứng minh rằng: 64 7 7 3 sin 7 2 sin 7 sin 222 = . Hết Đề số 3 Câu I. Cho hàm số: 2cos2cossin1)( 244 ++++= xxxxf . Giải các phơng trình sau: 1) 22)( =xf . 2) 51)( +=xf . Câu II. Các góc A, B, C của một tam giác thoả mãn: + =++ 2 23 sinsinsin 120 0 CBA A . Tìm các góc của tam giác đó. Câu III. Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = l. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lợt tại D, E, F, H. 1) Chứng minh rằng DEFH là hình chữ nhật. 2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất. Câu IV. a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức: ))((4)( 2222222222222 accbbacabcabbccbaccaabba +++++++++ . Hết Đề số 4 Câu I. Giải các phơng trình: 1) 01cos2cos 22 =+++ xxtgx . 2) xxxx 2 sinsin2cos1cos =+ . Câu II. Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn có bán kính bằng 1. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là: += ++ CBA CBA 223 222 sinsinsin 2sinsinsin . Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 Câu III. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. M và N là điểm chuyển động trên lần lợt các cạnh BC và CD sao cho hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 1) Chứng minh tứ diện SAMN có tất cả các mặt đều là tam giác vuông. 2) Giả sử BM = x( ax 0 ). a) Giả sử BM + DN a 2 3 . b) Xác định vị trí của M và N để BM.DN nhỏ nhất. Câu IV. Cho các phơng trình: 02)1( 22 =++ mxmx (1) 02 2234 =+++ mxxmxx (2) trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1). 1) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm. 2) Chứng minh phơng trình (2) có nghiệm. Hết Đề số 5 Câu I. Trong các nghiệm (x, y, z, t) của hệ: + =+ =+ 12 16 9 22 22 yzxt tz yx . Hãy tìm nghiệm làm cho x + z đạt giá trị lớn nhất. Câu II. Cho hai dãy số )();( nn ba biết n nn n nn a bb b aaba 1 , 1 ;0,0 1111 +=+=>> ++ với mọi n = 1, 2, Chứng minh rằng: 2,22 >>+ nnba nn . Câu III. Giải phơng trình: 4 5 )6cos2(3cos)1cos38(sin2sin4 22 =+++ xxxxx . Câu IV. Cho tứ diện ABCD có DA = a, DB = b, DC = c và DA, DB, DC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, CA. Hình chiếu H của D xuống mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác MNP. 1) Chứng minh rằng: H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện DMNP. 2) Gọi ,, lần lợt là các góc phẳng nhị diện của các mặt DMN, DNP, DPM với mặt ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: 2cos2cos2cos ++=T . 3) Lấy điểm S bất kỳ nằm trong tứ diện ABCD. Chứng minh rằng tổng các góc nhìn từ điểm S đến các cạnh của tứ diện ABCD lớn hơn 0 540 . Hết Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 Đề số 6 Câu I. 1/ Chứng minh rằng: 07cos4cos88cos4 >+++ xxx với mọi giá trị của x. 2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là: 02cos2cos2coscoscoscos =+++++ CBACBA . Câu IIa. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các mặt là hình thoi, các cạnh của hình hộp có độ dài bằng độ dài đờng chéo AC và góc tam diện tại đỉnh A là tam diện đều. 1/ Tính số đo các mặt của tam diện tại đỉnh A. 2/ Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, AD, AA theo thứ tự tại M, N, P và cắt đờng chéo AC tại Q. Chứng minh rằng: APANAMAQ 1111 ++= . Câu IIb. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . 1/ Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, A B C , ACC . Chứng minh mp(IKG) song song với mp(BB C C ). 2/ Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB , CC . Có một đờng thẳng đi qua I cắt AB và MN thứ tự tại P và Q. Tính PA PB' và QM QN . Câu III. Chứng minh rằng: Nếu )(2/,, Zkk và 222 sin,sin,sin theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng, và 1. = tgtg thì tgtgtg ,, theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân. Hết Đề số 7 Câu I. 1/ Chứng minh rằng các số 020202 80,40,20 tgtgtg là các nghiệm của phơng trình: 032733 23 =+ xxx . 2/ Cho tam giác ABC với a, b, c là độ dài các cạnh và r là bán kính đờng tròn nội tiếp. Chứng minh rằng nếu a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai d thì: ) 22 (32 A tg C tgrd = . Câu II. 1/ Cho phơng trình Rmmmxxx =+++ ;0223 23 . Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình trên có 3 nghiệm phân biệt 321 ,, xxx thoả mãn điều kiện: 321 1 xxx <<< . 2/ Cho hàm số aa a xf x x + = + 2 12 )( với a là số thực dơng khác 1. Hãy tính tổng: )1() 2005 2004 ( ) 2005 2 () 2005 1 ()0( fffffS +++++= . Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 Câu III. Cho hai nửa đờng thẳng Ax, By chéo nhau, vuông góc với nhau và có AB là đờng vuông góc chung. M, N là hai điểm thay đổi lần lợt thuộc Ax và By sao cho MN = AM + BN. 1/ Chứng minh rằng AM x BN không đổi. 2/ Gọi O là trung điểm của AB; H là hình chiếu vuông góc của O trên MN. Chứng minh OH = OA. 3/ Chứng minh H thuộc một mặt phẳng (P) cố định và góc giữa đờng thẳng MN và mặt phẳng (P) không đổi. Câu IV. Cho dãy số }{ n U đợc xác định bởi công thức: ++++= nn tg nn tgtg n eU 2 sin 2 ) 2 sin(sin) 2 ( 2 222ln với n =1, 2 và trong đó có n dấu căn. Tìm n n LimU . Hết Đề số 8 Câu I. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu 2 , 2 , 2 C tg B tg A tg theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì CosA, CosB, CosC theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng. Câu II. Cho các số thực ]2;1[,, cba thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222 cbaP ++= . Câu III. Cho đa thức ),,,()( 234 Rdcbadcxbxaxxxf ++++= . Biết f(1) = 10; f(2)=20; f(3) = 30. Hãy tính giá trị: 22 10 )8()12( + + = ff P . Câu IV. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi P là điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC(cung không chứa điểm A). Chứng minh rằng: PA = PB + PC. Câu V. Giải phơng trình: xx x lglg 4.3)42)(lg1( =++ . Hết Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 Đề số 9 Câu I: Cho góc x thoả mãn: 2 1 cossin;1800 00 =+<< xxx . Tính các số p và q biết 3 )( qp tgx + = . Câu II: Cho cấp số cộng, biết tỷ số của tổng n số hạng đầu và tổng của m số hạng đầu bằng nnn )( 2 2 nm m n . Tính tỷ số giữa số hạng thứ 8 và số hạng thứ 13. Câu III: Giải phơng trình: 1111 6 4 22 =+++ xxxx . Câu IV: Cho a, b, c, x, y, z là 6 số bất kỳ thoả mãn hệ: =++ =++ =++ 30 36 25 222 222 czbyax zyx cba . Tính zyx cba M ++ ++ = . Câu V: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. 1/ Giả sử DSABSCCSDASB == ; và ABCD là hình bình hành có I là giao điểm hai đ- ờng chéo. Chứng minh SI là đờng cao của hình chóp. 2/ Giả sử S.ABCD là hình chóp đều. Một mặt phẳng cắt 4 cạnh bên SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại M, N, P, Q. Đặt SM = m; SN = n; SP = p; SQ = q. Chứng minh rằng: pqnm 1111 = . Hết Đề số 10 Câu I: Giải phơng trình: xxCosSinxSin 2281) 4 3(2 2 +=+ . Câu II: Giải hệ phơng trình: =+ =+ 222 22 51 6 xyx xxyy . Câu III: Giả sử các góc ,, thoả mãn: 2sinsinsin ++ . Chứng minh rằng: Các đề thi học sinh giỏi lớp 11 5coscoscos ++ . Câu IV: Cho hình hộp ABCD.A B C D có các mặt là hình thoi, độ dài các cạnh hình hộp bằng độ dài đờng chéo AC, góc tam diện tại đỉnh A là tam diện đều. 1/ Tính số đo các mặt của tam diện tại đỉnh A. 2/ Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, AD, AA , AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Chừng minh rằng: APANAMAQ 1111 ++= . Hết Đề số 11 Câu I: Cho phơng trình: 0)cossin1)(42()cossin1( 2222 =+++ xmxmxmx . 1. Giải phơng trình với m = 0. 2. Tìm m để phơng trình có đúng một nghiệm. Câu II: 1. Chứng minh rằng hàm số 23 2 4 1 )( tt tf + = nghịch biến khi t > 0. 2. Giải hệ phơng trình: = = = + + + x z y zz yy xx 23 23 23 2 2 2 4 1 4 1 4 1 . Câu III: Cho mặt phẳng (P) trong đó có một đờng thẳng (d) cố định và một điểm A cố định không thuộc (d). Trên tia Az (P) ta lấy một điểm D cố định. Góc vuông xAy quay quanh A sao cho (d) cắt Ax, Ay lần lợt tại B và C. Kẻ AH (BCD), H (BCD). 1. Chứng minh H là trực tâm của tam giác BCD. 2.Chứng minh 22 11 ACAB + không đổi. Xác định dạng của tam giác BCD để diện tích của nó nhỏ nhất. 3. K là điểm đối xứng của H qua (d). Chứng minh rằng tứ giác DBKC nội tiếp trong một đờng tròn. Tìm quỹ tích tâm của đờng tròn đó. Câu IV: Cho các phơng trình: )1(0)()( 2 =++ dexbcax )2(0 234 =++++ edxcxbxax . C¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 11 BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lín h¬n 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm. . cắt các cạnh AB, AD, AA , AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Chừng minh rằng: APANAMAQ 111 1 ++= . Hết Đề số 11 Câu I: Cho phơng trình: 0)cossin1)(42()cossin1( 2222 =+++ xmxmxmx . 1. Giải phơng. cạnh AB, AD, AA theo thứ tự tại M, N, P và cắt đờng chéo AC tại Q. Chứng minh rằng: APANAMAQ 111 1 ++= . Câu IIb. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . 1/ Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam. )( 2 2 nm m n . Tính tỷ số giữa số hạng thứ 8 và số hạng thứ 13. Câu III: Giải phơng trình: 111 1 6 4 22 =+++ xxxx . Câu IV: Cho a, b, c, x, y, z là 6 số bất kỳ thoả mãn hệ: =++ =++ =++ 30 36 25 222 222 czbyax zyx cba . Tính