051 đề HSG toán 9 vĩnh bảo 2013 2014

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ CHÍNH THỨC  P=   ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x+ y x − y   x + y + 2xy  + ÷: 1 + ÷ − xy − xy + xy ÷    a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = 2+ Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y = − x + y = x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) b) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vng Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x − 5x − 38x − 5x + = Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 + = AM AI a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O/ ) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ∈ ( O ) F ∈ ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME.MA = MF.MD Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MƠN: TỐN LỚP Bài Đáp án ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ a) Mẫu thức chung – xy ( x + y )(1 + xy) + ( x − y)(1 − xy) − xy + x + y + 2xy P= : − xy − xy Điểm 0,5 đ x +x y+ y+y x + x −x y− y+y x − xy − xy + x + y + xy 0,5 đ = = b) x= 2( x + y x) x (1 + y) x = = (1 + x)(1 + y) (1 + x)(1 + y) + x 0,5 đ 2(2 − 3) = = − + = ( − 1) 4−3 2+ 0,5 đ x = ( − 1) = a) 0,5 đ −1 = −1 0,5 đ P= 2( − 1) −2 = = + ( − 1) + − + 0,5 đ P= 2( − 1) + = 13 5−2 0,5 đ  x = ⇒ y = Đồ thị y = − x + có :  2  y = ⇒ x =  x x ≥ Đồ thị y = x =  − x x ≤ Đồ thị hình vẽ: 0,5 đ 0,5 đ y N (L) (D) 3/2 -3 O 1đ M x b) Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) Ta có: OM = 12 + 12 = ⇒ OM2 = ON = 32 + ( −3) = ⇒ ON2 = 18 0,5 đ MN = (1 − 3) + (1 + 3) = 20 ⇒ MN = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 6x − 5x − 38 − + = x x 1 ⇔ 6(x + ) − 5(x + ) − 38 = x x 1 Đặt y = x + thì: x + = y − x x Ta pt: 6y – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 10 y = − Do đó: y = 10 10 * Với y = thì: x + = ⇔ 3x − 10x + = x  x = (3x – 1)(x – 3) =   x = 5 * Với y = − thì: x + = − ⇔ 2x + 5x + = x  x3 = −  (2x + 1)(x + 3) =   x = −2 A 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ B M J D C I Vẽ Ax ⊥ AI cắt đường thẳng CD J Ta có ∆ AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 = + (1) AD AJ AI Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: 0,5 đ 0,5 đ · · AB = AD = a; DAJ (góc có cạnh tương ứng vng góc) = BAM ⇒ ∆ADJ = ∆ABM Suy ra: AJ = AM 1 1 = + = Thay vào (1) ta được: (đpcm) AD AM AI a 0,5 đ 0,5 đ M E I F A O H B C D O/ N a) · · Ta có AEB = CFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường trịn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE ⊥ EF OF ⊥ EF => OE // O/F · / D (góc đồng vị) => EAO · / · · => EOB = FO = FCO Do MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN · Hay ENF = 900 µ =N µ = F$ = 90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E b) c) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD · · Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN = INF · · » = FDC = sđ FC Mặt khác, đường tròn (O/): IFN · · => FDC = HNC Suy ∆FDC đồng dạng ∆HNC (g – g) · · => NHC = DFC = 90O hay MN ⊥ AD · · Do MENF hình chữ nhật, nên MFE = FEN · · » = EAB = sđ EB Trong đường trịn (O) có: FEN · · => MFE = EAB Suy ∆MEF đồng dạng ∆MDA (g – g) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ => ME MF = , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ