SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = − − x2 ( (1 + x)3 + (1 − x)3 ) − − x2 với −1 ≤ x ≤ b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a3 − a 2b + ab − 6b3 = Tính giá trị biểu thức B = a − 4b4 b − 4a Câu (2 điểm) a) Giải phương trình x ( x2 + 2) = − x x2 + x3 = x + y b) Giải hệ phương trình y = y + x Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy + xy + x = 32 y b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a + a = 3b2 + b Chứng minh 2a + 2b + số phương Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a) Chứng minh HKM = 2AMH b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = 7abc Tìm 4ab 9ac 4bc + + giá trị nhỏ biểu thức C = a + 2b a + 4c b + c Hết ĐÁP ÁN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết giám khảo cho điểm tối đa Câu Nội dung A= Câu 1a: (1,0 đ) − − x2 = − − x2 = ( 1− − x2 )( ( ( )( + x + − x − − x2 − 1− x ) 0.25 1+ x + 1− x 1+ x + 1− x ) ) 0.25 = ( 1− 1− x2 ) ( + 1− x ) = 2x = x a − a 2b + ab − 6b = ⇔ (a − 2b)(a + ab + 3b ) = (*) Vì a > b > ⇒ a + ab + 3b > nên từ (*) ta có a = b Câu a − 4b 16b − 4b 1b: = Vậy biểu thức B = 4 b − a b − 64b (1,0 đ) B= 12b −4 = −63b 21 0.25 0.25 0.25 0.25 x < x x + = − ⇔ Với t = -4 ta có x + x x < ⇔ ⇔ x=− x = ( ) t = x < ⇔ = 16 x + 2x − = x > x > x x + = ⇔ ⇔ Với t =2 ta có 2 x + 2x − = 2 x + x = x > ⇔ ⇔x= − Kết luận nghiệm phương trình x = −1 3 2 2 Từ hệ ta có x (2 y + x) = y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) ( xy + x + y ) = ( 0.25 0.25 Câu t2 Đặt t = x x + ⇒ t = ( x + x ) ⇒ x ( x + ) = 2a: 2 (1,0 đ) t = −4 t = − t ⇔ t + 2t − = ⇔ ta phương trình Câu Điểm ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2b: (1,0 đ) x = y ⇔ ( x + y )3 ( x − y ) = ⇔ x = −y 0.25 * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − ) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − );( −1;1 );( 1; −1 ) 0.25 0.25 xy + xy + x = 32 y ⇔ x( y + 1) = 32 y 0.25 32 y Do y nguyên dương ⇒ y + ≠ ⇒ x = ( y + 1)2 Vì ( y, y + 1) = ⇒ ( y + 1) ∈U (32) Câu 2 32 = 25 ⇒ ( y + 1) = ( y + 1) = (Do ( y + 1) > ) mà 3a: 2 (1,0 đ) *Nếu ( y + 1) = ⇒ y = 1; x = *Nếu ( y + 1)2 = 24 ⇒ y = 3; x = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x = y =1 0.25 0.25 0.25 x = y = 2a + a = 3b + b ⇔ ( a − b)(2a + 2b + 1) = b (*) 0.25 Gọi d ước chung (a - b, 2a + 2b + 1) ( d ∈ ¥ ) Thì * Câu 3b: (1,0 đ) (a − b)Md ⇒ ( a − b ) ( 2a + 2b + 1) Md (2 a + b + 1) M d ⇒ b Md ⇒ bMd Mà (a − b)Md ⇒ a Md ⇒ (2a + 2b) Md mà (2a + 2b + 1)Md ⇒ 1Md ⇒ d = Do (a - b, 2a + 2b + 1) = Từ (*) ta a − b 2a + 2b + số phương => 2a + 2b + số phương Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax (O) Ta ¶ = 1O ả = s ẳ cú A AM (1) 1 2 Câu ¶ =M ¶ Có Ax // MH (cùng vng góc với OA) ⇒ A (2) 4a: 1 ¶ =K ¶ (cùng chắn MH (1,0 đ) Tứ giác MHOK nội tiếp ⇒ O ¼ ) (3) Câu 4b: (1,0 đ) ¶ = 1K ¶ hay HKM · · Từ (1), (2), (3) ta có M = 2AMH 1 Có tứ giác AOMD ni tip (4) ẳ ả = s ¼ ; O ¶ ¶ A BM = O2 = sđ BM 2 ¶ =O ¶ ⇒ tứ giác AMGO nội tiếp (5) ⇒A 1 Từ (4), (5) ta có điểm A, D, M, G, O nằm đường trịn ¶ =D ¶ =D ¶ ⇒G 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇒ ∆OGF ∆ODE đồng dạng OG GF ⇒ = hay OD.GF = OG.DE OD DE Trên đoạn MC lấy điểm A’ cho MA’ = MA ⇒ ∆AMA ' ¶ =A ¶ = 600 − BAA' · ⇒A ( ) 0.25 0.25 ⇒ ∆MAB = ∆A 'AC ⇒ MB = A 'C Câu ⇒ MA + MB = MC 4c: Chu vi tam giác MAB MA + MB + AB = MC + AB ≤ 2R + AB (1,0 đ) Đẳng thức xảy MC đường kính (O) => M điểm cung AM => H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB AB Gọi I giao điểm AO BC ⇒ AI = R = ⇒ AB = R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB = (2 + 3)R Từ gt : 2ab + 6bc + 2ac = 7abc a,b,c > c a b x , y , z > 1 đặt x = , y = , z = ⇒ a b c 2 z + x + y = 4ab 9ac 4bc = + + + + Khi C = a + 2b a + 4c b + c x + y x + z y + z Câu 5: + 2x + y + + 4x + z + + y + z − (2 x + y + x + z + y + z ) (1,0 đ) ⇒ C = 2x + y 4x + z y+z 0.25 0.25 0.25 Chia hai vế cho abc > ⇒ + + = 0.25 2 = − x + 2y ÷ + − 4x + z ÷ + − y + z ÷ + 17 ≥ 17 x + 2y ÷ 4x + z ÷ y + z Khi x = ,y = z = C = Vậy GTNN C a =2; b =1; c = 0.25 0.25 0.25 ... DƯƠNG - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm theo