Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Mơn : Tốn Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014 Câu (4 điểm) Tìm số thực x thỏa x4 + 2x3 + x2 + 2x + 1= Câu (4 điểm) x3 + 2y = Giải hệ phương trình: y + 2x = −1 Câu (4 điểm) ( ( ) m2 + Mn Cho m n hai số nguyên dương lẻ thỏa n + Mm ) 1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ ( m;n) thỏa điều kiện cho với m > n > 2 2) Chứng minh ( m + n + 2) M4mn Câu (4 điểm) 1) Tính số ước dương số 1000 2) Tính số ước dương chẵn số 1000 Câu (4 điểm) · ·ABC, BCA · Cho tam giác ABC có ba góc CAB, góc nhọn Gọi (O) đường trịn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC D, E Gọi M giao điểm hai đường thẳng OB DE, gọi N giao điểm hai đường thẳng OC DE Chứng minh bốn điểm B, C, M, N thuộc đường tròn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu Chia vế cho x2 ta được: x4 + 2x3 + x2 + 2x + 1= ⇔ x + 1 + 2 x + ÷+ 1= x x 1 1 ⇔ x + ÷ + 2 x + ÷− 1= x x ⇔ x + + 1÷ = x 1 ⇔ x + = −1− (1) x + = −1+ (2) x x Giải (1) ta x= −1− − 2 − x = −1− + 2 − (3) 2 Giải (2) vơ nghiệm Vậy có hai giá trị x (3) thỏa toán Câu x + 2y = ⇒ x3 + y3 + 2x + 2y = y + 2x = −1 ( ) ⇔ ( x + y) x2 + y2 − xy + = ⇔ y = −x(1) x + y − xy + = (2) 2 Với y = - x Khi x − 2x − 1= ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = ⇔ x = −1 x2 − x − 1= 0(3) Khi x = −1 y = 1− 1+ x = 2 1− −1+ ⇒ y= Với x = 2 1+ −1− Với x = ⇒ y= 2 Giải (3) ta x = y 3y2 (2) ⇔ x − ÷ + + = (vơ nghiệm) 2 Hệ cho có nghiệm Câu 3.1 Với m = 11 n = 41 thỏa điều kiện tốn Vì m2 + = 123M41 n2 + = 1683M11 2 3.2 Vì m2 + 2Mn mà n2 Mn nên ( m + n + 2) Mn(1) 2 Tương tự ( m + n + 2) Mm (2) Gọi d ước chung lớn m n ⇒ m2 + n2 Md 2 2 Theo chứng minh ( m + n + 2) Mm⇒ ( m + n + 2) Md ⇒ 2Md ⇒ d = 1(3) ; d lớn d = mâu thuẫn với m n lẻ 2 Từ (1), (2) , (3) suy ( m + n + 2) Mmn Cuối m lẻ nên m = 2k + (với k ∈ ¥ ) ⇒ m2 = 4k(k + 1) + Tương tự n2 = 4l(l + 1) + (với l ∈ ¥ ) 2 Suy ( m + n + 2) M4 Từ có điều phải chứng minh Câu 4.1 Ta có 1000 = 23.53 Gọi k ước dương 1000 Suy k = 2n.5m với n, m ∈ ¥ thỏa n ≤ m ≤ Vậy số ước dương 1000 4.4=16 4.2 Gọi k ước dương chẵn 1000 Suy k = 2n.5m với n,m∈ ¥ thỏa 1≤ n ≤ m ≤ Vậy số ước dương chẵn 1000 3.4=12 Câu 1· · · = AED = 900 − BAC Theo giả thiết AD = AE ⇒ ∆ADE cân A ⇒ CEM 1· · · · = OBC + OCB = 900 − BAC Mà COM · · Vậy CEM = COM ⇒ COEM tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE ⊥ AC từ BM ⊥ CM Tương tự CN ⊥ BN ⇒ BCMN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC ... x Giải (1) ta x= −1− − 2 − x = −1− + 2 − (3) 2 Giải (2) vô nghiệm Vậy có hai giá trị x (3) thỏa toán Câu x + 2y = ⇒ x3 + y3 + 2x + 2y = y + 2x = −1 ( ) ⇔ ( x + y) x2 + y2 − xy + = ⇔ y =
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:16
Xem thêm:
