Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Ngày thi: 19/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = 3− 2 + 10 ( 1+ 2) ( 3+ 2) + b) Cho B = n4 + n3 − n2 − n Chứng minh B chia hết cho với số nguyên n Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x x x +1 + 5− 2x x −1 x −1 x + a) Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn P b) Tìm giá trị x để P có giá trị Câu (2,0 điểm) 1 1 a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh ( a+ b + c) + + ÷ ≥ a b c b) Cho số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P= x y z + + x+1 y+1 z+1 Câu (4,0 điểm) x+y+ x−y =6 a) Giải hệ phương trình − = −3 x + y x−y b) Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa qng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h qng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F chân đường cao kẻ từ C, B tam giác ABC D điểm đối xứng A qua O, M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh M trung điểm HD b) Gọi L giao điểm thứ hai CE với đường tròn tâm O Chứng minh H, L đối xứng qua AB c) Chứng minh EF vng góc với AO Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK=DF a) Chứng minh CK = CF b) Chứng minh EF=EK EF tiếp xúc với đường trịn cố định c) Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP 2016-2017 Câu A = 3− 2 + 10 ( 1+ 2) ( 3+ 2) + 3− 2 + 10 = ( − 1) + 10 = 4( − 1) + 10 = + ( 1+ 2) ( 3+ 2) + 1= 3+ + + 2+ 1= 6+ 2 ⇒ A =1 b) B = n4 + n3 − n2 − n B = n2(n2 − 1) + n(n2 − 1) B = n.n.( n − 1) ( n + 1) + n( n − 1) ( n + 1) B = n( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) Do ( n − 1) n( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Vậy B chia hết cho Câu a) ĐK: x ≥ ;x ≠ x2 − x x + x x + x + 5− 2x x2 − x + = x −1 x−1 b) P = x + x −1 P = 7⇔ x + = ⇔ x2 − 8x + 12 = x −1 P= ⇔ x = 2;x = (nhận) Câu a+ b + c ≥ 33 abc (1) a) Ta có : 1 1 + ≥ 33 (2) a b c a.b.c + (1) Nhân (2) vế theo vế ta ( a+ b + c) + + ÷ ≥ a b c 1 x y z b) P= x + + y + 1+ z + 1 1 1 P = 1− + 1− + 1− = 3− + + ÷ x+1 y+1 z+1 x + y + z + 1 1 1 Ta có : + + ÷ ≥ (theo câu a) a b c a+ b + c 1 9 + + = Nên ÷≥ x + y + z + 1 x + 1+ y + 1+ z + P ≤ 3− = 4 Vậy GTLN P x = y = z = Câu a) Điều kiện x ≥ 0; x ≠ ± y 1 Đặt a = x + y ;b = x − y 3a + 5b = a = x + y = x = ⇔ ⇔ 3⇒ Hệ trở thành thỏa điều kiện 3a − 4b = −3 b = x − y = y = b) Gọi x quãng đường AB (x>0) x − 60 x Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên + 60 x − 120 Thời gian ô tô lúc ban đầu là: 80 x + 120 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: 100 Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : Theo đề ta có phương trình: x − 120 x + 120 x + = −1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 Vậy quãng đường AB dài 280 km Câu a) DB ⊥ AB,CE ⊥ AB nên CE // DB DC ⊥ AC,BF ⊥ AC nên DC // BF Tứ giác ABDC hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm DH b) AE ⊥ HL (a) · · (1) (góc nội tiếp chắn cung) EAL = LCB · · ∆EHA đồng dạng ∆KHC ⇒ LCB = HAB(2) (K giao điểm AH BC) · Từ (1) (2) suy AE phân giác HAL (b) Từ (a) (b) suy E trung điểm HL Vậy H, L đối xứng qua AB c) Kẻ tiếp tuyến từ A đường tròn tâm (O) (3) · · (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) TAC = ABC · · Tứ giác EFCB nội tiếp ⇒ ABC + EFC = 1800 · · · · · suy EF//AT (4) EFC + EFA = 1800 nên ABC = AFE = TAC Từ (3) (4) suy EF vng góc với AO Câu · · a) CD=CB, DF=BK, FDC = CBK = 900 nên ∆DFC = ∆BKC ⇒ CK = CF b) Gọi H chân đường cao kẻ từ C tam giác CEF ∆HEC = ∆BEC ⇒ HE = EB ∆HFC = ∆BKC nên FH = BK Cộng vế theo vế suy EF = EK Do ∆HEC = ∆BEC ⇒ CB = CH EF ⊥ CH Vậy tam giác EFC ln tiếp xúc đường trịn cố định tâm C bán kính CH = c) SDFC = SHFC ;SHEC = SBEC 1 SCEF = SCDFEB = ( 16 − SAEF ) ⇒ SCEF ≤ 2 SCEF lớn Khi E ≡ A,F ≡ D ...ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP 2016-2017 Câu A = 3− 2 + 10 ( 1+ 2) ( 3+ 2) + 3− 2 + 10 = ( − 1) + 10 = 4( − 1) + 10 = + ( 1+ 2)
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:14
Xem thêm:
