UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu (3,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức B = 13 + 30 + + 2) Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, c2 + a2 ¹ b2 a2 b2 c2 Tính giá trị biểu thức P = + + a - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 Câu (4,0 điểm) 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm đường thẳng y = 2x + điểm M ( x;y) cho y2 - 5y x + 6x = a b c 2) Cho a,b,c số thực thỏa mãn + + = Chứng minh phương trình ax + bx + c = ln có nghiệm Câu (4,0 điểm) 1) Cho số thực dương a,b,c Chứng minh 8 8 8 2 + + + a + b + c ³ + + a + b+ c + (a + b)2 + 4abc (b + c)2 + 4abc (a + c)2 + 4abc 2) Tìm số nguyên tố a,b,c số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a2 + b2 + 16c2 = 9k2 + Câu (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB nửa đường trịn tâm O ' đường kính AO Điểm M thay đổi nửa đường trịn ( O ') (M khác A O ), tia OM cắt đường tròn ( O ) C Gọi D giao điểm thứ hai CA với đường tròn ( O ') 1) Chứng minh tam giác ADM cân 2) Tiếp tuyến C đường tròn ( O ) cắt tia OD E , chứng minh EA tiếp tuyến chung hai đường tròn ( O ) ( O ') 3) Đường thẳng AM cắt OD H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M , N thẳng hàng 4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB Câu (3,0 điểm) 1) Cho hình vng MNPQ điểm A nằm tam giác MNP cho · AM = AP + 2AN Tính góc PAN 2 2) Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + c; Q ( x) = x + 2016x + 2017 thỏa mãn ( ) P ( x) = có ba nghiệm thực phân biệt P Q ( x) = vô nghiệm Chứng minh P ( 2017) > 1008 -HẾT - UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn - Lớp Đáp án Câu 1.1 (1.5 điểm) B = 13 + 30 + + = 13 + 30 + + + Điểm 0.75 = 13 + 30 + ( + 1) = 13 + 30 + + = 13 + 30 + 2 + = 13 + 30 ( + 1)2 = 18 + 18.5 + 25 0.75 = ( 18 + 5)2 = + 1.2 (1.5 điểm) P = a2 ( b + c) 2 = - b2 - c2 + b2 ( c + a) 3 - c2 - a2 + c2 ( a + b) - a2 - b2 0.75 a b c a +b +c + + = 2bc 2ca 2ab 2abc ( ) 3 2 Ta có a + b + c - 3abc = ( a + b + c) a + b + c - ab - bc - ca = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Do vậy, P = 2.1 (2.0 điểm) 0.75 éy = x ê y y x + x = Û Ta có ê êy = x ë Với y = x Þ 2x + = x Û x + ( 1.0 ) x - = , khơng có x thỏa mãn é x =1 ê Û Với y = x Þ 2x + = x Û ê êx =1 ê ë éx = ê ê êx = ê 1.0 ổ 3ử ữ ỗ ; ữ Từ tìm điểm thỏa mãn M ( 1;3) hoc M ỗ ữ ữ ỗ ố4 2ứ 2.2 (2.0 điểm) 5 c ta cx = c 4 Nếu c = 0, phương trình nghiệm với x Ỵ ¡ Nếu c ¹ 0, phương trình có nghiệm x = Với a ¹ 0, ỉ4 16 16 64 ÷ D = b2 - 4ac = b2 - 4a ỗ a bữ = b2 + ab + a2 = b2 + ab + a2 + a2 ç ÷ ç ÷ ø 5 25 75 è Với a = Þ b = - ổ ữ ữ =ỗ b + a + a2 > 0, " a ¹ 0, " b Suy ra, phương trình ln có hai nghiệm phõn bit ỗ ữ ỗ ố ữ ứ 75 Vậy phương trình ln có nghiệm 1.0 1.0 3.1 (2.0 điểm) Ta có 8 (a + b)2 2 ³ = ; a + b ³ nên (a + b)2 + 4abc (a + b)2 + c(a + b)2 (c + 1)(a + b)2 a2 + b2 (a + b)2 + ³ + ³ (a + b)2 + 4abc (c + 1)(a + b)2 2 c +1 = 2( c + 1) ³ 2 c +1 c+3 0.5 0.5 0.5 a2 + b2 + ³ Do đó, 2 c+3 (a + b) + 4abc b2 + c2 8 a2 + c2 + ³ + ³ , 2 a + (a + c) + 4abc b+ (b + c) + 4abc Từ suy điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c = 3.2 (2.0 điểm) Vì VP chia dư nên VT chia dư Mà bình phương số nguyên tố chia dư nên hai ba số a,b,c phải Tương tự 0.5 0.5 TH1: a = b = ta có 18 + 16c2 = 9k2 + Þ 17 = 9k2 - 16c2 = (3k - 4c)(3k + 4c) ìï 3k - 4c = Þ ïí Þ ïï 3k + 4c = 17 ỵ ìï k = ï (thỏa mãn) í ïï c = ỵ 0.5 Vậy ta ( a;b;c;k) = ( 3;3;2;3) TH2: Nếu c = ; a = b = Với a = ta có 32 + b2 + 16×32 = 9k2 + Þ 152 = 9k2 - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ×19 Vì 3k - b,3k + b tính chẵn lẻ mà tích chẵn nên chúng chẵn Ta trường hợp: ïìï 3k - b = ïì k = 13 Û ïí (thỏa mãn) í ïï 3k + b = 76 ïï b = 37 ỵ ỵ Ta ( a;b;c;k) thỏa mãn (a,b,c, k) = (3,37,3,13) ïìï 3k - b = ïì k = Û ïí (thỏa mãn) í ïï 3k + b = 38 ïï b = 17 ỵ ỵ Ta ( a;b;c;k) thỏa mãn (a, b, c, k) = (3,17, 3,7) Tương tự ta có (a,b,c, k) = (37,3,3,13),(17,3,3,7) 4.1 (1.0 điểm) Tam giác AOC cân O , có OD đường cao nên phân giác góc · · · , AOD AOC = COD 1.0 0.5 ¼ nên DA = DM ẳ = DM ị AD Vy tam giỏc AMD cân D 0.5 4.2 (1.0 điểm) · · D OEA = D OEC ( c.gc ) Þ OAE = OCE = 900 0.5 Do đó, AE ^ AB Vậy AE tiếp tuyến chung ( O ) ( O ') 0.5 4.3 (2.0 điểm) Giả sử AM cắt ( O ) N ' D OAN ' cân O, có OM ^ AN ' nên OM đường trung trực AN ' Þ CA = CN ' · · · 'A = CAM · · 'H = COH · Ta có CN mà CAM = DOM , CN Bốn điểm C , N ',O, H thuộc đường tròn Suy ra, N ' thuộc đường tròn ngoại tiếp D CHO Do vậy, N ' trùng với N Vậy ba điểm A, M , N thẳng hàng 4.4 (2.0 điểm) Vì ME / / AB AB ^ AE nên ME ^ AE Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên MO MA AO = = Þ MA = AO.EM (*) EA EM MA Dễ thấy D MEO cân M nên ME = MO Thay vào (*) ta MA = OA.MO (**) Đặt MO = x > ta có MA2 = OA2 - MO = a2 - x2 Từ (**) suy a2 - x2 = ax Û x2 + ax - a2 = Từ tìm OM = ( 1.0 1.0 1.0 1.0 ) 5- a 5.1 (1.5 điểm) Dựng tam giác ANB vng cân N ( A, B nằm khác phía NP ) · Ta có AB = 2AN , BAN = 450 D AMN = D BNP ( c.gc ) Þ AM = BP 1.0 Do đó, AP + AB = AP + 2AN = AM = BP Þ D ABP vng A · · · Nên PAN = PAB + BAN = 900 + 450 = 1350 5.2 (1.5 điểm) Gọi x1, x2, x3 ba nghiệm P ( x) ta có P ( x) = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( ) ( )( )( Suy ra, P Q ( x) = Q ( x) - x1 Q ( x) - x2 Q ( x) - x3 ( ) ) Do P Q ( x) = vơ nghiệm nên phương trình Q ( x) - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm Hay phương trình x + 2016x + 2017 - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm 0.5 0.5 2 Do đó, biệt thức tương ứng D i ' = 1008 - ( 2017 - xi ) < Û 2017 - xi > 1008 Suy ra, P ( 2017) = ( 2017 - x1) ( 2017 - x2 ) ( 2017 - x3 ) > 1008 1.0 Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi không làm tròn -Hết -