Thông tin tài liệu
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN XUYÊN MỘC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh số A 62015 B 62016 bội 2) So sánh A 102016 102016 B 102017 11 102017 Bài 2: (5,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: P x 9 x 1 x 3 với x 0; x 4; x x 5 x x 3 2 x 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: Q 2016 x x 2016 x2 3) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 3: (3,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m x m 3 y (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn 2) Cho số dương a, b, c Chứng minh : a b c 2 a b bc c a Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK 1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường tròn 2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO 3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy cung » (P khác A B) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B không nhỏ AB lớn đường kính đường trịn (O) - HẾT Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: ………………………………… Chữ ký giám thị số 1: ……………… UBND HUYỆN XUYÊN MỘC PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh số A 62015 B 62016 bội 2) So sánh A Bài 102016 102017 11 Ta có: A 2015 Ta có: 10 A Và: 10 B Ta thấy 1013 Đáp án 0,5 1M 62 1 35M 10.(102016 1) 102017 1 2017 2017 2017 10 10 10 2017 Điểm 0,5 10.(102016 1) 10 2017 11 1 2017 2017 2017 10 11 10 11 10 11 10 102016 102017 1M 7M B 62016 62 1.1 (1,0đ) 1.2 (2,0đ) B 11 10 2017 9 (*) (**) nên từ (*) (**) 10A > 10B A > B 0,75 0,5 0,75 ( Trong ý đầu, ý chứng minh trước cho 0,75; ý sau tương tự cho 0,5đ) Bài 2: (5,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: P x 9 x 1 x 3 với x 0; x 4; x x 5 x x 3 2 x 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: 2016 x x 2016 Q x2 3) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 2.1 (2,0đ) Đáp án x (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) P ( x 2)( x 3) P x x 2 ( x 2)( x 1) x 1 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 Điểm 0,75 0,5x2 +0,25 a) Ta có: 2016 x x 2016 (2017 x 2017) ( x x 1) x2 x2 2017( x 1) ( x 1) ( x 1) 2017 (*) x2 x2 x2 ( x 1) nên từ (*) Q 2017 Vì x 1 ( x 1) x 1 x Dấu “=” xảy x 1 Q 2.2 (2,0đ) 0,5 0,5 0,25 0,5 Vậy max Q = 2017 x Cách 1: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4)M5 Mà (6;5) = nên (x2 – 4) M5 Đặt x2 – = 5t ( t ¥ ) x2 = 5t + Thay vào (*) y2 = 10 – 6t t x x 5t t Vì y y 10 6t t t t = Khi t = thì y2 = 10 (loại vì y ¢ ) x x Khi t = thì (vì x > 0; y > 0) y y 2.3 (1,5đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Cách 2: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4)M5 Mà (6;5) = nên (x2 – 4) M5 [(x2 – 4) +5] M5 (x2 +1) M5 (**) Từ < 6x2 < 74 < x2 12 Kết hợp (**) x2 = x2 = Khi x2 = thì y2 = 10 (loại vì y ¢ ) Khi x2 = thì y2 = (x = y = 2) (vì x > 0; y > 0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (3,5 điểm) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m x m 3 y (m 1) tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn 2) Cho số dương a, b, c Chứng minh : Bài a b c 2 a b bc c a Đáp án Xét pt: m x m 3 y Điểm Ta thấy: m m 3 nên (d) qua O(0;0) + m = ta y = nên K/c từ (d) đến O y + m = ta x = - nên K/c từ (d) đến O x 1 3.1 (2,0đ) 0,25x2 ,0 cắt Oy B 0, m 3 m4 + m 3; m thì (d) cắt Ox A Kẻ OH vng góc với (d) H; ta có K/c từ O đến (d) OH Dựa vào ΔOAB vuông O 7 1 2 (m 4) (m 3) m OH 2 2 Suy được: OH Suy khoảng cách từ O đến (d) lớn OH = m = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Vì a, b, c số dương (gt) nên ta có: a a ac abc ab abc (1) 0,5 3.2 (1,5đ) b b ba a b c bc bc a (2) c c cb a b c c a c a b (3) 0,25 0,25 Cộng vế (1), (2) (3), ta có: a b c 2 a b bc ca 0,5 Lưu ý: HS chứng minh vế cho 0,75đ Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK 1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường trịn 2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO 3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB N K M I E A F O H B Bài Đáp án Hình vẽ đến câu 4.1 (1,75đ) Chứng minh OK AM E Dựa vào OAK vuông A OE.OK = OA2 = R2 không đổi 4.2 Chứng minh được: OK // BN ( AM) Chứng minh được: AOK = OBN (g.c.g) OK = BN (1,75đ) Suy OBNK hình bình hành từ suy được: IN = IO Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25x2 0,5 + 0,25 0,5 Chứng minh AOK đồng dạng HBM HB MB HB MB (1) AO OK AO OK 2 Chỉ MB = HB.AB OA = OE.OK (cma) (2) 0,5 0,25 4.3 (2,0đ) Từ (1) (2) suy HB HB.AB HB AB HB OE OK OE OK OE OK AB OK (3) 0,5 HB FB 0,25 (4) AB BK 0,5 FB OE EF // OB //AB (đl Ta let) Từ (3) (4) suy KB OK Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy cung Chứng minh » (P khác A B) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B không nhỏ AB lớn đường kính đường trịn (O) A 13 P B O Q C Bài Đáp án » nên AP < PC Lấy điểm Q PC cho PQ = PA Vì ABC đều, P AB (2,5đ) · µ 600 (chắn cung 1200) nên APQ APQ cân có APQ P AP = AQ = PQ Điểm 0,25 0,75 - Chứng minh APB = AQC (c.g.c) PB = QC Từ PA + PB = PQ + QC = PC Mà PC dây (O) 1,0 nên PC 2R (đường kính) Chứng tỏ tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B khơng lớn 0,5 đường kính đường trịn (O) (đpcm) Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác GK cho điểm tương đương Điểm tồn khơng làm trịn ...UBND HUYỆN XUYÊN MỘC PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:14
Xem thêm:
