PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN MƠN: TỐN Năm học: 2017-2018 Bài Chứng minh với số tự nhiên x biểu thức A = x5 − x ln chia hết cho 30 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) 2) 3) Bài a ( x + 1) − x ( a + 1) x3 + 13x + x − (x + x ) − ( x + x ) − 15 B= x3 − x + x 2x −1 x a) Tìm giá trị nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên 2 a b C = a − 4ab + 5b − 2b − b) Tìm giá trị để biểu thức đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 ≥ Bài Chứng minh rằng: ABCD a Bài Cho hình vng có cạnh Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC AMND a) Tính diện tích tứ giác CDM E DM = AM + CE b) Phân giác góc cắt BC Chứng minh BD, CE ABC Bài Cho tam giác có ba góc nhọn, hai đường cao tam giác cắt điểm H Chứng minh rằng: HD.HB = HE HC a) b) ∆HDE : ∆HCB BH BD + CH CE = BC c) ĐÁP ÁN Bài A = x − x = x ( x − 1) = x ( x − 1) ( x + 1) = ( x − 1) x ( x + 1) ( x + 1) Vì ( x − 1) x ( x + 1) +) Nếu +)Nếu +)Nếu +)Nếu Vậy AM (1) tích ba số nguyên liên tiếp nên xM ⇒ AM x :5 x :5 x :5 AM dư dư ( x − 1) M5 ⇒ AM5 ( x + 1) M5 ⇒ AM5 dư với x Từ (1) (2) suy x2 : ( 5,6 ) = dư ⇒ ( x + 1) M ⇒ AM (2) AM 30 Bài 1) 2) a ( x + 1) − x ( a + 1) = ax + a − a x − x = ax ( x − a ) − ( x − a ) = ( ax − 1) ( x − a ) x3 + 13 x + x − = x3 + x + x + x − x − = x ( x + 1) + x ( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1) ( x + x − 3) = ( x + 1) ( x + x − x − 3) = ( x + 1) 3x ( x + 3) − ( x + 3) = ( x + 1) ( x + 3) ( 3x − 1) (x 3) + x ) − ( x + x ) − 15 = ( x + x ) − ( x + x ) + − 16 2 = ( x + x − 1) − 42 = ( x + x − ) ( x + x + 3) Bài x3 − x + x x3 − x − x + x + x − + 3 B= = = 2x2 − 2x + + 2x −1 2x −1 2x −1 a) Để B nhận giá trị nguyên ( x − 1) ∈U (3) = { −1;1; −3;3} ⇒ x ∈ { 0;1; −1;2} C = a − 4ab + 4b + b − 2b + − = ( a − 2b ) + ( b − 1) − ≥ −7 b) Vậy a − 2b = a = ⇔ b − = b = MinC = −7 Bài Ta có: ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 3) + 10 = ( x − x + ) ( x − x + 12 ) + 10 = ( x − x + − ) ( x − x + + 3) + 10 = ( x − x + ) − 32 + 10 = ( x − x + ) + Vì (x 2 − x + ) ≥ 0∀x Nên (x − x + 9) + ≥ với x Bài a) S AMND = S ABCD − S BMN − S NCD Ta có: ∆NCD ∆BMN BM = BN = vng B có vng C có DC = a ⇒ S AMND a = CN a a a a a 5a 2 = a − − a = a − − = 2 2 8 CB CK = AM b) Trên tia đối tia lấy điểm K cho Dễ dàng chứng minh ∆ADM = ∆CDK ( c.g c ) ⇒ AM = CK ; DM = DK ( 1) Và ·ADM = CDK · Ta có: ·ADE = ·ADM + MDE · · · · · · = EDC + CDK = EDK (ViMDE = EDC ) ·ADE = DEK · Mặt khác · · ⇒ EDK = DEK (so le trong) ∆DKE Vậy cân K DM = AM + CE Từ (1) (2) suy ⇒ DK = KE = CK + CE (2) Bài µ =D µ = 900 ; EBH · · E = DCH ∆BHE : ∆CHD a) Chứng minh HE HB ⇒ = ⇒ HD.HB = HE.HC HD HC HE HB HE HD = ⇒ = HD HC HB HC · · EHD = CHB (cùng phụ góc A) ⇒ ∆HDE : ∆HCB (đối đỉnh) BD CE c) Vì H giao điểm hai đường cao nên H trực tâm tam giác ⇒ AH BC AH đường cao thứ ba Gọi F giao điểm với b) Từ Ta có: AF ⊥ BC ∆BHF : ∆BCD ( g g ) ⇒ BH BF = ⇒ BH BD = BF BC (*) BC BD ∆CHF : ∆BCE ( g g ) ⇒ CH CF = ⇒ CH CE = CF BC ( **) CB CE Cộng theo vế ( *) , ( **) : BH BD + CH CE = BC.( BF + CF ) = BC ... ∆BMN BM = BN = vng B có vng C có DC = a ⇒ S AMND a = CN a a a a a 5a 2 = a − − a = a − − = 2 2 8 CB CK = AM b) Trên tia đối tia lấy điểm K cho Dễ dàng chứng minh ∆ADM = ∆CDK ( c.g c ) ⇒ AM =