PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XUÂN KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC : 2017 – 2018 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 08 tháng năm 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức : x3 − y x2 − y P= + ÷: − ÷ x + 2y y x x y x + xy + y a) Rút gọn biểu thức P x, y P x + y = 6; x + y = 26 b) Tính giá trị biểu thức thỏa mãn ; \ x; y x + y = P c) Nếu số thực dương làm cho xác định thỏa mãn: P Hãy tìm giá trị lớn biểu thức Câu (4,0 điểm) a) Lúc sáng xe buýt từ vị trí A đến vị trí B với độ dài 60 km A 39km Khi tới vị trí C cách vị trí xe bị hỏng Xe phải dừng lại sửa 15 chữa phút, sau xe tiếp tục từ C đến B với vận tốc giảm so 11 3km / h với vận tốc từ A tới C Tổng thời gian xe từ A đến B hết (tính thời gian dừng lại sửa xe) Hỏi xe buýt bị hỏng lúc ? b) Giải phương trình x + x + x + x + 20 x + x + x + x + 12 + = + x +1 x+4 x+2 x+3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n 4n + n + 2n + n + cho: chia hết cho 2 ( x; y ) x − y − xy − x − y + 40 = b) Tìm cặp số nguyên cho: Câu (6,0 điểm) ABC AC M Cho tam giác vuông cân A Trên cạnh lấy điểm bất kỳ, AE = CM M A C AB E cho khác Trên cạnh lấy điểm cho BC ∆OEM trung điểm cạnh Chứng minh vuông cân ME , A b) Đường thẳng qua song song với cắt tia BM N Chứng minh : CN ⊥ AC a) Gọi O H c) Gọi giao điểm OM M AN Chứng minh tích phụ thuộc vào vị trí điểm cạnh AC Câu (2,0 điểm) a, b, c Cho ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 ≤ + + ≤ + + b + c c + a a + b b2 + c c + a a + b2 ĐÁP ÁN Câu 1a) x3 − y x2 − ( y ) 2x − y P= + ÷: 2 ÷ x + xy + y ÷ x y x + y ( x − y ) ( x + xy + y ) ( x − y ) ( x + y ) x − y = + : 2 x + xy + y x + 2y x y x2 y2 = ( x − y + x − 2y) 2x − y x2 y = ( 2x − y ) = x2 y 2x − 3y 1b) x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ Điều kiện : Ta có: ( x + y) Vậy 1c) y; x ≠ −2 y = x + x y + y ⇔ 62 = 26 + x y ⇔ x y = P = 52 = 25 AH AN không x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ; x ≠ −2 y x, y Với dương thỏa mãn điều kiện ta có: x+ y xy ≤ ÷ =1 x + y = 2) ⇔ x = y =1 "=" (vì Dấu xảy ⇔ x = y = P Vậy GTLN Câu C x ( km / h; x > 3) A a) Gọi vận tốc xe buýt từ đến vận tốc B ( x − 3) ( km / h ) xe buýt từ C đến 39 (h), x AC Thời gian để xe buýt hết quãng đường thời gian để xe buýt hết 21 = ( h) ( h) x −3 quãng đường CB Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút 39 21 11 + + = x x −3 Theo ta có phương trình: Giải x = 39(tm) 36 x = (ktm) 19 39km / h xe buýt với vận tốc , suy thời gian để xe buýt 39 : 39 = đo hết quãng đường AC : (giờ) Do sáng xe bt bị hỏng b) Giải phương trình Vậy từ A tới C x + x + x + x + 20 x + x + x + x + 12 + = + x +1 x+4 x+2 x+3 ( x + 1) ⇔ x +1 +1 ( x + 4) + x+4 +4 ( x + 2) = x+2 +2 ( x + 3) + ( x ≠ −1; −2; −3; −4 ) +3 x+3 + x+4+ = x+2+ + x +3+ x +1 x+4 x+2 x+3 ⇔ + = + x +1 x + x + x + x + + x + x + + 3x + ⇔ = x + 5x + x2 + 5x + ⇒ ( x + ) ( x + x + ) = ( x + 12 ) ( x + x + ) ⇔ x +1+ ⇔ x3 + 33 x + 70 x + 48 = x + 37 x + 80 x + 48 ⇔ x + 10 x = x = 0(tm) ⇔ −5 x = (tm) Câu 3a) 4n + n + = n − + 2n + n + 2n + n + Ta có: n 2n − 4n + n + Vì số nguyên nên số nguyên Do để chia hết cho 2 2n + n + 2n + n + phải ước số 1 1 7 2 n + n + = n + n + = n + ÷ + > 2 16 Mặt khác: 2n + n + = 2n + n + = 2n + n + = Do đó: hoặc n = n = −1 n = Giải trường hợp suy ra: 3b) Ta có: 3x − y − xy − x − y + 40 = ⇔ x − ( x + y + xy + x + y + 1) = −41 ⇔ ( x + y + 1) − ( x ) = 41 2 ⇔ ( 3x + y + 1) ( y − x + 1) = 41 3x + y + = a y − x + = b a 41, b Đặt : Suy ước có tích 41 41 Nhận thấy số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a −41 −1 41 b −1 −41 41 a−b −10 10 −10 10 a + 3b − 4 −12 −32 30 10 x= y= Vậy cặp số nguyên ( x; y ) cần tìm ( −10; −12 ) ; ( 10; −32 ) ; ( −10;30 ) ; ( 10;10 ) Câu 4a Vì tam giác ABC vng cân A O trung điểm cạnh BC nên AO OA = OC = OB đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy · OAB = ·ACO = 45 ∆OEA ∆OMC · OA = OC; OAB = ·ACO = 450 ; AE = CM ( gt ) Xét có: · · ⇒ ∆OEA = ∆OMC ( c.g c ) ⇒ OE = OM & EOA = MOC (1) ABC Vì AO đường trung tuyến tam giác cân nên AO đường cao · ⇒ AO ⊥ BC ⇒ ·AOM + MOC = ·AOC = 900 (2) ·AOM + ·AOE = EOM · = 900 Từ (1) (2) suy : · OE = OM & EOM = 900 ∆OEM Vì nên vng cân O 4b BM BE = (3) MN EA ME / / AN Vì nên theo định lý Ta – let ta có: AB = AC , AE = CM BE = AM cân A nên mà nên AM Do đó, (3) ta thay BE , thay EA MC ta được: BM AM = (4) ⇒ AB / / CN MN MC (Theo định lý Ta let đảo) AB ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC Mà 4c · · ME / / AN ⇒ OME = OHA Từ (cặp góc đồng vị) · · OME = 45 ∆OEM OHA = 450 = ·ACB Mà (vì vng cân O) suy · · MHA = ·ACB OMC = ·AHM Hay Kết hợp với (đối đỉnh) (1) OM MC ⇒ = , · · OMA = CMH AM MH kết hợp (hai góc đối đỉnh) · · ⇒ ∆OMA : ∆CMH (c.g c ) ⇒ OAM = MHC (2) Vì tam giác ABC ·AHC = MHA · · + MHC = 900 , CH ⊥ AN Từ (1) (2) suy suy Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC ⇒ = ⇒ AH AN = AC.HC HC AN không đổi Câu a b c + + ≥ (1) b+c c+a a+b Chứng minh Ta có: a b c a b c + + = + 1÷+ + 1÷ + + 1÷ − b+c c+a a+b b+c c+a a+b a+b+c b+c+a c+a+b 1 = + + − = ( a + b + c) + + ÷− b+c c+a a+b b + c c + a a + b x = b + c; y = c + a; z = a + b x, y , z > Đặt : Suy ta có: 1 1 a b c + + = ( x + y + z ) + + ÷− b+c c+a a+b x y z x z 1 x y y z = 9 + + − ÷+ + − ÷+ + − ÷ − 2 y x z y z x 2 x − z) y − z) ( x − y) ( ( = 9 + + + − ≥ − = xy xz yz 2 ( x − y) (Vì Vậy xy ( x − z) + xz ( y − z) + yz a b c + + ≥ b+c c+a a+b Chứng minh : ≥0 ) ⇔a=b=c xảy a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + b2 + c c2 + a a + b2 b + c c + a a + b Thật vậy, vai trò a≥b≥c sử : Xét hiệu : Dấu a , b, c "=" (2) nên khơng tính tổng quát , ta giả a2 b2 c2 a b c + + − + + ÷ ÷ c + a a + b2 b + c c + a a + b b +c a2 a b2 b c2 c = − + − + − ÷ ÷ ÷ 2 c + a a + b2 a + b b +c b+c c +a ( a b − ab ) + ( a c − ac ) + ( b a − ba ) + ( b c − bc ) + ( c a − ca ) + ( c b − cb ) = ( b + c ) ( b + c) ( c + a ) ( c + a) ( a + b ) ( a + b) 2 = 2 2 ab ( a − b ) + ac ( a − c ) (b + c2 ) ( b + c ) 2 + 2 2 −ab ( a − b ) + bc ( b − c ) (c + a2 ) ( c + a ) 2 + 2 −ac ( a − c ) − bc ( b − c ) (a 1 ÷ = ab ( a − b ) − ( b + c2 ) ( b + c ) ( c2 + a2 ) ( c + a ) ÷ 1 ÷ +bc ( b − c ) − ( c + a ) ( c + a ) ( a + b2 ) ( a + b ) ÷ Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c a2 b2 c2 + + ≤ + + b + c c + a a + b b2 + c c + a a + b2 Vậy a=b=c "=" Từ (1) (2) suy đpcm Dấu xảy + b2 ) ( a + b ) ... + 5x + ⇒ ( x + ) ( x + x + ) = ( x + 12 ) ( x + x + ) ⇔ x +1+ ⇔ x3 + 33 x + 70 x + 48 = x + 37 x + 80 x + 48 ⇔ x + 10 x = x = 0(tm) ⇔ −5 x = (tm) Câu 3a) 4n + n + = n − + 2n + n + 2n +