TRƯỜNG THCS DANH THẮNG ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN Mơn: Tốn – NH 2017-2018 Thời gian: 120 phút Câu 1 Chứng minh B x3 ( x 7)2 36 x chia hết cho 105 với số nguyên x Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + Chứng minh A = abcd số phương ab b+c c d d +a Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab Đáp án 2) a) 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + 6 ab b+c cd d +a 1 a b c d +1+ 1 +1+ 6 ab b+c cd d +a a b c d + + 2 ab b+c cd d +a 1 a b c d 1 0 ab b+c cd d +a b b d d 0 ab b+c cd d +a b(c - a) d(a - c) 0 (a b)(b + c) (c d )(d + a) 0,25 0,25 b(c d )(d a ) d (a b)(b c ) abc acd bd b 2d (b d )(ac bd ) 0,25 ac bd ac bd (vì b ≠ d) 0,25 Vậy A = abcd = (ac)2 số phương 0,25 0,25 0,25 0,25 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d bc c d d a a b c b d a(d a) c(b c) b(a b) d (c d ) a (b c )(d a ) (c d )(a b ) bc d a c d a b a c ad bc b d ab cd 4(a b2 c d ab ad bc cd) 2 (a b c d )2 b c d a c d a b 4 F 0,5 (theo bất đẳng thức xy (x y) ) +) Mặc khác: 2(a b2 c2 d ab ad bc cd) (a b c d)2 a b2 c2 d 2ac 2bd (a c)2 (b d) Suy F đẳng thức xảy a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 0,25 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 0,25 Đẳng thức xảy y = 2016; x = 2015 Với số a, b dương: 0,5 Xét: a2 b2 1 ab a2 + b2 – ab (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( a + b > 0) a + b3 a + b 0,5 (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b 0.5 0.5 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0 ab a2 b2 a, b > Vậy: a2 b2 1 ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 0,25 0,25