UBND HUYỆN A LƯỚI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: TỐN Năm học: 2017-2018 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu (5 điểm) Cho biểu thức a) Tìm x x2 − x 2 x2 A= − 1− − ÷ ÷ x + 8 − x + x − x x x xác định Rút gọn biểu thức x A b) Tìm giá trị nguyên để nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: x ( x + 2) ( x2 + 2x + 2) + = a) y + x + y − x+1 + = b) x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + x+2 x +8 x+4 x+6 c) Câu (3 điểm) p p = n3 − n + n − n 1) Tìm số tự nhiên để số nguyên tố biết: f ( x) = ax + bx + 10 x − a, b 2) Tìm cho chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − 3) Cho để giá trị A A 4a + b = 5ab 2a > b > P= ab 4a − b Tính ABCD, CD Câu (6,5 điểm) Cho hình vng tia đối tia lấy điểm M bất ( CM < CD ) CMNP B DP kỳ , vẽ hình vng (P nằm C), cắt BM H, MP cắt BD K BM DH a) Chứng minh: vng góc với PC PH KP Q= + + BC DH MK b) Tính c) Chứng minh: Câu (1,5 điểm) x, y > MP.MK + DK BD = DM x y x2 y2 + + ≥ 3 + ÷ y x y x 1) Cho Chứng minh : 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 ĐÁP ÁN Câu a) 2 x + ≠ ⇔ 8 − x + x − x3 ≠ x ≠ A Giá trị xác định x ≠ −4 x ≠ −8 x ≠ ⇔ ( − x ) + x ( − x ) ≠ ⇔ ( − x ) ( + x ) ≠ ⇔ x ≠ x ≠ x ≠ Ta có: x2 − 2x 2x2 A= − 1− − ÷ ÷ x + 8 − x + x − x x x x2 − 2x x2 − x + 2x2 = − ÷ 2 x2 ( x + ) ( − x ) + x ( − x ) (x = − 2x ) ( − x ) − 4x2 x2 + x − 2x − x2 ( x2 + 4) ( − x ) 2 x − x3 − x + x − x x ( x + 1) − ( x + 1) = x2 ( x2 + 4) ( − x ) = − x ( x2 + 4) ( x2 + 4) ( − x ) ( x − ) ( x + 1) x2 = b) x +1 * ∈ ¢ ⇔ x + 1M2 x ⇒ x + 2M2 x 2x x +1 2x mà x = 1(tm) ⇒ 2M2 x ⇒ 1Mx ⇒ x = −1(tm) A= Vậy x +1 ∈¢ ⇔ x =1 2x x = −1 xM2 x Câu a) x ( x + 2) ( x2 + x + 2) + = ⇔ ( x2 + 2x ) ( x2 + 2x + 2) + = ⇔ ( x2 + 2x ) + 2( x2 + 2x ) + = ⇔ ( x + x + 1) = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = −1 Vậy phương trình cho có nghiệm b) y + x + y − x+1 + = x = −1 ⇔ y + y + + ( x ) − 2.2 x + = ⇔ ( y + 1) + ( x − 1) = y +1= y = −1 ⇔ x ⇔ x = 2 − = ( x; y ) = ( 0; −1) Vậy phương trình cho có nghiệm c) x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + x+2 x +8 x+4 x+6 ĐKXĐ: x ≠ −2; x ≠ −4; x ≠ −6; x ≠ −8 (1) ( 1) ( x + 2) ⇔ ⇔ −2 x −2 x = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 8) +2 ( x + 8) + +8 ( x + 4) = +4 ( x + 6) + +6 x+2 x +8 x+4 x+6 ⇔ x+2+ + x+8+ = x+4+ + x+6+ x+2 x +8 x+4 x+6 ⇔ − = − x + x+ x+6 x +8 x + − x − x + 48 − x − 48 ⇔ = ( x + 2) ( x + 4) ( x + ) ( x + 8) x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ (tm) ( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) 8 x = −40 x = −5 x = 0; x = −5 Vậy phương trình cho có nghiệm Câu p = ( n + 1) ( n − 1) 1) Biến đổi n = 0;1 Nếu không thỏa mãn đề p = ( 22 + 1) ( − 1) = n=2 Nếu thỏa mãn đề p 1; n − > n>3 Nếu không thỏa mãn đề có từ ước trở lên n +1 > n −1 >1 Vậy n=2 2) p = n3 − n + n − số nguyên tố *g ( x) = x + x − = ( x − 1) ( x − ) * f ( x) = ax + bx + 10 x − 4Mg ( x) ⇔ f ( x) = ax + bx + 10 x − = ( x − 1) ( x − ) Q ( x ) (1) x1 = 1; x2 = ( 1) - Thay vào ta có: a+b+6=0 8a + 4b + 16 = ⇒ a = b = −8 và ( ∀x ∈ ¡ ) Vậy 3) a = f ( x ) = ax + bx + 10 x − 4Mg ( x ) ⇔ b = −8 Biến đổi được: b = a 4a + b = 5ab ⇔ ( 4a − b ) ( a − b ) ⇔ b = a Mà 2a > b > ⇒ 4a > 2b > b P= Ta có: Vậy nên a=b a = 4a − a 4a + b = 5ab 2a > b > P= Câu BM a) Chứng minh : DH vng góc với · · CD = BC ; PC = CM ; DCB = BCM = 900 Chứng minh được: · ⇒ ∆DPC = ∆BMC ( c.g.c ) ⇒ BHP = 900 PC DM PC S ∆PDM MP ⊥ BD ⇒ = = BC DM BC S ∆BDM b) Chứng minh được: 1 DB KP DB.KP S PH S PBM PH 2 = = ; = = PBD 1 DH DB.MK S BDM DH DB.MK S BDM 2 Tương tự S + S PBM + S PBD ⇒ Q = PDM = S BDM c) Chứng minh: Chứng minh: ( 1) & ( ) Từ ∆MCP : ∆MKD ( g g ) ⇒ MP.MK = MC.MD ∆DBC : ∆DKM ( g g ) ⇒ DK BD = DC.DM ( ) (1) ⇒ MP.MK + DK BD = DM ( MC + DC ) ⇒ MP.MK + DK BD = DM Câu 1) x y + ≥2 y x Học sinh chứng minh x y x y ⇒ + − ≥ 0; + − ≥ y x y x x, y > với x y x y ⇒ + − ÷ + − 1÷≥ y x y x x y x y x2 y2 ⇒ + + − + ÷ − 2. + ÷+ ≥ y x y x y x x y x2 y2 ⇒ + + ≥ 3 + ÷ y x y x "=" ⇔ x= y>0 Dấu xảy 2) B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 *) x − x + = ( x − 1) ≥ ⇒ x − x + ≥ 2 y + y + = ( y + 3) ≥ ⇒ y + y + 12 ≥ với x∈¡ y ∈ ¡ (2) với + B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 2 = ( x − x ) ( y + y ) + 12 ( x − x ) + ( y + y ) + 36 + 2009 = ( x − x ) ( y + y + 12 ) + ( y + y + 12 ) + 2009 = ( x − x + 3) ( y + y + 12 ) + 2009 (3) (1) ( 1) , ( ) , ( 3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015 Từ *) B = 2015 ⇔ x = 1& y = −3 x = *) MinB = 2015 ⇔ y = −3