PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DUY XUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2017-2018 Mơn: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài (3,5 điểm) a) Chứng minh n3 + 17 n b) Rút gọn biểu thức: Bài (4,5 điểm) n∈¢ chia hết cho với ( x2 + a ) ( + a ) + a2 x2 + (x − a ) ( − a ) + a2 x2 + 4m a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: dừng lại 8m 12m giây, tiếp dừng lai giây, tiếp dừng lại giây… Cứ 155 từ A đến B kể dừng hết tất giây Biết vật thể ln 2m / có vận tốc giây Tính khoảng cách từ A đến B a2 + b2 M= 2018 a − 3ab2 = b3 − 3a 2b = 10 b) Biết Tính Bài (4 điểm) ( x2 − x + 1) ( x2 − x + ) = 12 a) Giải phương trình: P = x + y − ( x + y ) − 2010 b) Tìm giá trị nhỏ Bài (4,5 điểm) ABC Cho tam giác vuông A, phân giác BD Gọi P, Q, R trung BD, BC , DC điểm APQR a) Chứng minh hình thang cân AB = 6cm, AC = 8cm AR b) Biết Tính độ dài Bài (2,5 điểm) ABCD Cho hình bình hành Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD M, cắt đường chéo AC N cắt đường thẳng AD K Chứng minh: 1 = + BN BM BK Bài (1,0 điểm) a, b, c Biết độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a + b − c ) − a 2b < ĐÁP ÁN Bài n3 + 17n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n a) n ( n − 1) ( n + 1) Vì tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, nên chia hết cho 18nM , suy điều phải chứng minh b) ( x2 + a ) ( + a ) + a x2 + = x2 + x2a + a + a + a x + ( x2 − a ) ( − a ) + a x2 + x2 − x2a − a + a2 + a x + 2 x2 + x2a + a x + + a + a x ( + a + a ) + ( + a + a ) = = x − x2a + a x + − a + a x2 ( − a + a2 ) + ( − a + a ) (x = (x 2 + 1) ( + a + a ) + 1) ( − a + a ) = + a + a2 − a + a2 Bài x a) Gọi số lần Thời gian ( x ∈ ¥ , x > 0) , số lần dừng x −1 ( 2,3) = 12 4x + + + + = + + + + x 2 2 = ( + + + + x ) = x ( x + 1) Thời gian dừng: + + + + ( x − 1) = ( x − + 1) ( x − 1) = x ( x − 1) Lập phương trình x = 10 (tm) x( x − 1) + x( x + 1) = 155 ⇔ x + x − 310 ⇔ −31 x = (ktm) Khoảng cách AB 10.( 10 + 1) = 220(m) b) a − 3ab = ⇒ a − 6a 4b + 9a 2b = 25 b3 − 3a 2b = 10 ⇒ b6 − 6a 2b + 9a 4b = 100 ⇒ a + 3a 4b + 3a 2b + b = 125 ⇒ ( a + b ) = 53 ⇒ Bài (x a + b2 = 2018 2018 − x + 1) ( x − x + ) = 12 a) x2 − x + = X Đặt có X + X − 12 = ⇔ X + X − X − 12 = ⇔ X ( X + ) − ( X + ) = X = ⇔ ( X − 3) ( X + ) = ⇔ X = −4 19 X = −4 ⇒ x − x + = ⇒ x − ÷ + = (VN ) 2 X = ⇒ x2 − x − = ⇒ ( x2 − 2x ) + ( x − 2) = x = −1 ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x = b) P = x + y − ( x + y ) − 2010 = ( x − x + ) + ( y − y + ) − 2018 = ( x − ) + ( y − ) − 2018 ≥ −2018 Vậy Pmin = −2018 ⇔ x = y = Bài PQ BDC , a) PQ / / AR đường trung bình tam giác suy thang AQ = BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) PR = BC (đường trung bình tam giác DBC) AQ = PR ⇒ APQR Suy hình thang cân BC = 10cm b) Tính ∆ABC Tính chất đường phân giác DA BA DA BA ⇒ = ⇒ = DC BC AC BC + BC AD = 3cm, DC = 5cm, DR = 2,5cm Thay số tính AR = 5,5cm Kết Bài APQR nên hình AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành) Theo định lý Talet có: MN NC MN MC + AB MN + NB BM = = ⇒ = = (1) AB AN NB AB BN BN KM KD MD BK − KM AB − MD BM AB − MD = = ⇒ = ⇒ = BK KA AB BK AB BK AB ⇒ Từ (1) (2) BM BM AB + MC AB − MD MC + MD − = − = BN BK AB AB AB MC + MD = CD = AB Mà nên Bài (a (2) BM BM − =1 BN BK (Điều phải chứng minh) + b − c ) − 4a 2b = ( a + b2 − c + 2ab ) ( a + b − c − 2ab ) 2 = ( a + b ) − c ( a − b ) − c = −( a + b + c) ( a + b − c) ( a + c − b) ( b + c − a) Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh ... x = b) P = x + y − ( x + y ) − 2010 = ( x − x + ) + ( y − y + ) − 20 18 = ( x − ) + ( y − ) − 20 18 ≥ −20 18 Vậy Pmin = −20 18 ⇔ x = y = Bài PQ BDC , a) PQ / / AR đường trung bình tam giác suy... ⇒ b6 − 6a 2b + 9a 4b = 100 ⇒ a + 3a 4b + 3a 2b + b = 125 ⇒ ( a + b ) = 53 ⇒ Bài (x a + b2 = 20 18 20 18 − x + 1) ( x − x + ) = 12 a) x2 − x + = X Đặt có X + X − 12 = ⇔ X + X − X − 12 = ⇔ X ( X +... 2b < ĐÁP ÁN Bài n3 + 17n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n a) n ( n − 1) ( n + 1) Vì tích ba số ngun liên tiếp nên chia hết cho 3, nên chia hết cho 18nM , suy điều phải chứng minh b) (