PHÒNG GD & ĐT TỨ KỲ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017-2018 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) Cho biểu thức − x − 2x A= + − : 2 ÷ 1− x x +1 1− x x −1 a) Rút gọn biểu thức A x b) Tìm giá trị nguyên để biểu thức A=A x c) Tìm để Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x3 − x − 12 x = b) A nhận giá trị nguyên x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 Bài (5 điểm) Cho hình thang ABCD vuông A D Biết CD = AB = AD BC = a CD .Gọi E trung điểm ABED a) Tứ giác hình ? Tại ? ABCD a b) Tính diện tích hình thang theo BC , H AC I D c) Gọi trung điểm chân đường vng góc kẻ từ xuống Tính · HDI góc Bài (4 điểm) A = x − xy + y − y + a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 3( x + 1) B= x + x2 + x + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: Bài (2 điểm) a) Cho CMR: b) Cho p a, b, c cạnh tam giác, nửa chu vi 1 1 1 + + ≥ 2. + + ÷ p−a p−b p−c a b c a , b, c , d số dương Chứng minh rằng: ĐÁP ÁN Câu x ≠ ±1; x ≠ a) ĐKXĐ: + x + 2( − x) − ( − x) A= − x2 x2 − ÷ − 2x −2 x − = = − x − 2x − 2x b) A nguyên, mà x 2M ( − 2x ) nguyên nên x =1 x=0 Từ tìm ⇒x=0 Kết hợp điều kiện A = A⇔ A>0 ⇔ c) Ta có: ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < − 2x −1 ≠ x < Kết hợp với điều kiện : Câu 2 a−b b−c c−d a −d + + > b+c c+d d +a a+b a) b) x = x3 − x − 12 x = ⇔ x ( x − ) ( x + 3) = ⇔ x = x = −3 x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ − 1÷ + − ÷+ − ÷= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300 86 84 82 Câu ABED ( AB / / DE , AB = DE ) a) Chỉ hình bình hành Chỉ ABED hình thoi (AB=AD) · = 90 ) ( BAD Chỉ b) Chỉ ABED ∆BEC Từ suy hình vng vng cân AB = AD = a, DC = 2a AB + CD ) AD ( a + 2a ) a 3a ( S= = = ABCD Diện tích hình thang : ·ACH = ·ACD (1) HDC ) c) (cùng phụ với góc ∆ADC ∆IBD Xét vng D B có: AD IB = = ⇒ ∆ADC : ∆IBC DC BD ·ACD = BDI · ( 2) Mà Suy ·ADH = BDI · ( 1) ( ) Từ suy ·ADH + BDI · · · = 45 ⇒ BDI + BDH = 450 Câu a) Ta có: A = x − xy + y + y − y + + = ( x − y ) + ( y − 2) + Do ( x − y) 2 ≥ 0; ( y − ) ≥ A = ( x − y ) + ( y − 2) + ≥ Nên Dấu "=" xảy ⇔x= y=2 hay · HDI = 450 2 A 1⇔ x = y = Vậy GTNN ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) B= = = = 2 x + x + x + x ( x + 1) + x + ( x + 1) ( x + 1) x + b) B= ≤ x +1 x +1≥1 ⇔ x=0 "=" Do nên Dấu xảy GTLN B 3⇔ x =0 Vậy Câu a) Ta có: 1 + ≥ = p − a p −b p −a + p −b c 1 + ≥ = p −b p −c p −a + p −c a 1 + ≥ = p−c p −a p −c + p −a b Cộng vế ta có điều phải chứng minh b) Ta có: a −b b−c c −d a −b a −b b−c c −d d −a + + ≥ ⇔ + + + ≥0 b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a +b a+c b+d c+a d +b ⇔ + + + ≥4 b+c c+d d +a a+b Xét a+c b+d c+a d +b + + + −4 b+c c+d d +a a+b = ( a + c) + + ÷+ ( b + d ) ÷− b + c d + a c + d a + b 4 ≥ ( a + c) +(b+d) −4=0 a+b+c+d a+b+c+d ⇒ đpcm Dấu "=" xảy a=b=c=d ... =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ − 1÷ + − ÷+ − ÷= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300 86 84 82