UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ PHÒNG GD & ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) (a KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2018-2019 Môn : Toán – Lớp Thời gian :120 phút + b ) ( c + d ) = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) 2 a) Chứng minh : 1 + + =2 x + y + z = xyz x, y, z ≠ 0) x y z b) Cho: ( 1 + + =2 x y z Chứng minh Bài (2,5 điểm) Giải phương trình: x + x + x + x + 2025 + + + =0 2003 2004 2005 a) x − x = 400 x + 9999 b) Bài (2,0 điểm) x) x2 − x + > a) Chứng minh (với x + x +1 ≥ x2 − x + b) Chứng minh: x2 + x + A= x − x +1 c) Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : Bài (3,5 điểm) AB < CD ) ABCD AB / / CD Cho hình thang ( ; Gọi O giao điểm hai BD đường chéo AC, Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, cắt B' CD A’ ; đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F, cắt CD OAB, OCD, ACD, ABC Gọi diện tích tam giác minh: EF / / AB a) AB BE = CD BD AB = EF CD b) S1 S + =1 S S3 c) S1 , S , S3 , S4 Chứng ĐÁP ÁN Bài a) VT = a 2c + a d + b 2c + b d = a 2c + b d − 2abcd + a d + b2 c + 2abcd = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) = VP 2 b) Bình phương vế ta có: 1 2 + 2+ 2+ + + =4 x y z xy xz yz 1 2z y 2x ⇔ 2+ 2+ 2+ + + =4 x y z xyz xyz xyz 1 2( x + y + z ) + 2+ 2+ =4 x y z xyz 1 xyz ⇔ 2+ 2+ 2+ =4 ( x + y + z = xyz ) x y z xyz 1 ⇔ + + = 2(dfcm) x y z ⇔ Bài x + x + x + x + 2025 + + + =0 2003 2004 2005 a) x+7 x+6 x + x + 2005 ⇔ +1+ +1+ + −3=0 2003 2004 2005 x + 2010 x + 2010 x + 2010 x + 2010 ⇔ + + + =0 2003 2004 2005 1 1 ⇔ ( x + 2010 ) + + + ÷= 2003 2004 2005 ⇔ x + 2010 = ⇔ x = −2010 b) x − x = 400 x + 9999 ⇔ x + x + = x + 400 x + 10000 ⇔ ( x + 1) = ( x + 100 ) (thêm 4x2 + vào vế) ⇔ ( x + + x + 100 ) ( x + − x − 100 ) = VN x + x + 101 = ⇔ ⇔ x = −9 x − x − 99 = x = 11 Vậy S = { 11; −9} Bài 1 x − x +1= x − ÷ + > 2 a) (với x) b) Từ kết câu a, nhân vế BĐT với số dương 3x + 3x + > x − x + ⇔ x + x + > ⇔ ( x + 1) > (luôn đúng) x + x +1 ≥ x2 − x + Suy ra: 2 x + x + ( x − x + 1) + x + x + − ( x − x + 1) c) = x − x +1 x2 − x + ( x − 1) 2x2 − 4x + =3− = 3− ≤3 x − x +1 x − x +1 Vậy MaxA = ⇔ x = ( x − x + 1) được: Bài AE / / BC ⇒ OE OA = OB OC BF / / AD ⇒ OF OB = OA OC AB / / CD ⇒ OA OB OE OF = ⇒ = ⇒ EF / / AB OC OD OB OA a) AB / / DA ' ⇒ b) (Ta let đảo) EB AB EB AB = ⇒ = ED DA ' ED + EB AB + DA ' AB = A ' C được: ⇒ AB = EF DC EB AB AB EF AB EF = ⇒ = ⇒ = BD BD DC DB ' DC AB (Do c) SOAB OA = (1); S ABC AC SOCD OA = (2) S ADC AC (Tỷ số DT hai tam giác có đáy tỉ số đường cao) Cộng (1) (2) vế theo vế ta có : đpcm AB = DB ')