PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ TAM KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Câu 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của biểu thức A với 2) Phân tích đa thứ[.]
PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ TAM KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023 Câu (5,0 điểm) x x 36 x 1 A x x x x 12 x 12 1) Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A x 94 b) Tính giá trị biểu thức A với 2) Phân tích đa thức thành nhân tử : x x 1 x x 12 Câu (3,0 điểm) 2 1) Chứng minh a b c ab ac bc a b c 2) Cho đa thức thức f x f x x 3x x Với giá trị nguyên x giá tri đa chia hết cho giá trị đa thức x Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên x 10 x y y 0 6y 2) Giải phương trình sau : y 10 y y 1 y Câu (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình ? Vì ? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD, AB Chứng minh EF / / AC ba điểm E , F , P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Câu (2,0 điểm) chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ 1) Chứng minh 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu n 7 2n 1 P 16 x y z thức : ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) x x 36 x 1 A x x x x 12 x 12 3) Cho biểu thức c) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A x x 36 x 1 A x x x x 12 x 12 x 1 x x 6 x 6 x x x x 12 x 1 x 1 x x 1 x x x x x 6 x 6 12 x 1 12( x 1) 1 x 12 x 1 x x d) Tính giá trị biểu thức A với x 94 1 A 2 x 94 4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x x 1 x x 12 2 Đặt x x t x x t Khi t t 1 12 t 3 t x x x x ( x 1)( x 2)( x x 5) Câu (3,0 điểm) 2 3) Chứng minh a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 0 a b b c c a 0 2 a b 0; a c 0; b c 0 Vì 2 a b a c b c 0 a b c Nên f x x 3x x 4) Cho đa thức Với giá trị nguyên x giá tri f x đa thức chia hết cho giá trị đa thức x Chia f x cho x thương x dư x Để f x 2 chia hết cho x x 2x x x x 6 x Mà x 2 x 3;6 x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1, x thỏa mãn f x Vậy với x 1, x chia hết cho x Câu (4,0 điểm) 3) Giải phương trình nghiệm nguyên x 10 x y y 0 x 10 x y y 0 x 10 x y y 13 2 x x 1 y y 1 13 x 1 y 1 13 x Z x Z yZ y Z Vì y 2 y 1 y 1 x 1 x 0 y 1 8 y y 3(VN ) x; y 0;1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên 6y 4) Giải phương trình sau : y 10 y y 1 y (1) y 3; y ĐKXĐ : 1 6y y 1 y 3 y 1 y 1 y y 6 y y 1 y y 1 y 6 y 18 y y 16 y y 5 y 1(tmdkxd ) Vậy tập nghiệm phương trình S 1 Câu (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P B A F I E M P O C D d) Tứ giác AMDB hình ? Vì ? Gọi O giao điểm AC BD Ta có O trung điểm AC, P trung điểm MC Hay PO đường trung bình ACM hay AM / / PO Vậy BD / / AM hay tứ giác AMDB hình thang e) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD, AB Chứng minh EF / / AC ba điểm E , F , P thẳng hàng Do AM / / BD hay OBA MAE (đồng vị) Xét OAB cân ta có : OBA OAB Gọi I giao điểm MA EF , ta thấy AEI cân I hay IAE IEA EF / / AC 1 Suy FAE OAB hay IP / / AC Mặt khác IP đường trung bình MAC suy Từ (1) (2) suy E , F , P thẳng hàng f) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Chứng minh MAF ∽ DBA( g.g ) Câu (2,0 điểm) MF AD FA AB không đổi 3) Chứng minh n 2n n 2n n 14n 49 n chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ n số nguyên lẻ nên n 2k 1 k Z n Khi 2 2 2 2k 1 4k 4k k k 16 k k 1 k , k hai số nguyên liên tiếp nên k k 1 chia hết cho k k 1 16 k k 1 Vậy k k 1 2 chia hết chia hết cho chia hết cho 64 n 2n chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 P 16 x y z thức : 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x Theo BĐT Cơ si ta có : 16 x y Dấu xảy y 2 x z x Tương tự 16 x z Dấu xảy z 4 x z y 1 4y z , Dấu xảy z 2 y 49 x ;y ;z 16 Dấu xảy 7 49 x ;y ;z Min P 16 với 7 Vậy P ... x Z x Z yZ y Z Vì y 2 y 1 y 1 x 1 x 0 y 1 ? ?8 y y 3(VN ) x; y 0;1 Vậy phương trình có nghiệm ngun 6y 4) Giải... y 1 y 3 y 1 y 1 y y 6 y y 1 y y 1 y 6 y 18 y y 16 y y 5 y 1(tmdkxd ) Vậy tập nghiệm phương trình S 1 Câu (6,0 điểm) Cho hình