Thông tin tài liệu
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (5,0 điểm) x4 x2 x2 Cho biểu thức M x x4 x2 x4 4x2 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M 2x y 1 Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn 1 x 1 y Chứng minh M x y xy bình phương số hữu tỷ Bài (4,0 điểm) Tìm số dư phép chia x 3 x 5 x x 2033 cho x2 12 x 30 Cho x, y, z thỏa mãn x y z 7; x y z 23; xyz 1 Tính giá trị biểu thức H xy z yz x zx y Bài (4,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 x y Giải phương trình: 3x x 1 3x 8 16 Bài (6 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M MB MA cạnh BC lấy N cho MON 900 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE 1) Chứng minh MON vuông cân 2) Chứng minh MN song song với BE 3) Chứng minh CK vng góc với BE 4) Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC KN CN 1 KB KH BH Bài (1,0 điểm) 24 Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ H x y x y ĐÁP ÁN Bài 1 a) M x4 x2 x2 x2 1 x4 x 1 x4 x2 x 1 x 3 x4 x2 1 2 x 1 x x 1 x x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x4 x4 x4 x2 x 1 x x 1 x x 1 x4 x2 x2 x 1 x4 x2 1 x2 1 x x 1 x4 x2 x2 với x x4 x2 x2 b) Ta có : M với x x x2 - Nếu x ta có M Vậy M - Nếu x , chia tử mẫu M cho x ta có: M 1 x2 x 1 1 1 Ta có: x x 2.x x x x x x Dấu " " xảy x Nên ta có: M x x 1 Vậy M lớn M x 2x y 1 x 1 y 1 y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y Ta có 3xy y x xy x y xy x y xy x y 2 2 3xy 3xy 2 Ta có : M x y xy x y 3xy 3xy Vì x, y nên 3xy số hữu tỷ , Vậy M bình phương số hữu tỷ Bài 1) Ta có: x 3 x 5 x x 2033 x 12 x 27 x 12 x 35 2033 Đặt x2 12 x 30 t , ta có: x 3 x 5 x x 2033 t 3 t 5 2033 t 2t 15 2033 t t 2018 Vậy ta có x 3 x 5 x x 2033 x 12 x 30 x 12 x 32 2018 Vậy số dư phép chia x 3 x 5 x x 2033 cho x2 12 x 30 2018 2) Vì x y z z x y xy z xy x y x 1 y 1 Tương tự ta có: yz x y 1 z 1 ; zx y z 1 y 1 1 z 1 x 1 y 1 Vậy H x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 x y z 73 Ta xyz xy yz xz x y z xy yz xz xy yz xz có: x y z x y z xy yz xz 72 23 xy yz xz xy yz xz 13 1 Vậy H 13 Bài 1) Ta có: 3x 3xy 17 x y 3xy y 3x x 17 3x y 3x x 17 Vì x nguyên nên x nên ta có: 3x x 17 3x x x 11 y 3x 2 x 3x 3x 11 11 x 3x 3x 11 Vì x, y nguyên nên ta có nguyên 11 3x 3x 1; 11 3x - Xét trường hợp ta tìm x 1; y 1; x 3; y thỏa mãn kết luận 2) Ta có: 3x x 1 3x 8 16 3x 3x 3 3x 8 144 Đặt 3x t 3x t 5;3x t 2 Ta có phương trình: t 5 t t 5 144 t 25t 144 t t 16 t t 3 t 5 t 16 Xét trường hợp ta tìm x 0; x 2; x ; x 3 Bài M A O B N K D C E H 1) Ta có : BOC 900 CON BON 900 ; MON 900 BOM BON 900 BOM CON BOC 450 Ta có BD phân giác ABC MBO CBO BOC 450 Vậy ta có : MBO NCO Xét OBM OCN có OB OC; BOM CON ; MBO NCO OBM OCN OM ON Xét MON có MON 900 ; OM ON MON vuông cân 2) OBM OCN MB NC mà AB BC AB MB BC NC AM BN AM BM MB NC AN BN Ta có: AB / /CD AM / / CE NE NC AM AN MN / / BE (Theo định lý Talet đảo) Vậy ta có: MB NE 3) Vì MN / / BE BKN MNO 450 (đồng vị có tam giác MON vng cân) NB NO BNK ONC (vì có BNK ONK ; BKN OCN 450 ) NK NC NB NO BNO KNC - Xét BNO; KNC có BNO CNK ; NK NC NKC NBO 450 Vậy ta có: BKC BKN CKN 450 450 900 CK BE Tương tự ta có: NCO DCO 4) – Vì KH / /OM mà MK OK MK KH NKH 900 mà NKC 450 CKH 450 BKN NKC CKH 450 Xét BKC có BKN NKC KN phân giác BKC , mà KH KN KC HC KH phân giác BKC KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có : KH BH KC KN NC HC BN CN BH 1 Vậy ta có KB KH BH HB BH BH BH Bài 24 Ta có: H x y x y 1 24 x x 1 y y 8 x y 24 x y 17 x y x 1 y 2 x 1 x 17 22 6 y 2 x y 17 y y 2 Dấu " " xảy x 1 y x y x y x y Vậy H nhỏ H 22 x 1, y 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC x 1 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 30/3/2013 Câu (4,5 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 2) Cho x2 x Tính giá trị biểu thức Q x6 x5 x x3 x x Câu (4,5 điểm) x 1 4026 x 1 1) Cho biểu thức R Tìm x để biểu thức xác : x 2x x 2x x 4x x định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n3 n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 số phương Câu (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông A D Biết CD AB AD BC a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I trung điểm BC , H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Chứng minh HDI 450 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a b2 a b Tính giá trị lớn biểu thức: a b S a 1 b 1 ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có: P a3 b3 7ab(a b) a b a ab b 7ab a b a b 2a 2b 5ab a b 2a 4ab 2b ab a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b 2) Ta có: Q x x x x x x x x x x x2 x2 x x2 x x 2 x2 x Vậy Q Câu 1) x 1 x x 1 Ta có: R x x x x x x 4026 x ĐK: x x x 2 Khi đó: x 1 x 1 R 4026 x x x x 1 x x 1 x 4026 x2 2 x 4 4026 x 2013 x Vậy R xác định R 2013 x 2 2) +Nếu x 2, phương trình cho trở thành : x x 1 x 1 x x 1 x x x x x x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2, phương trình cho trở thành: x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x4 5x2 5 x vơ nghiệm 2 Phương trình có nghiệm x Câu 1) Ta có: n3 n n n 1 n 1 Vì n 1; n; n ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do n3 n (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với 1 ; suy n n 24 dpcm 2) Giả sử n2 4n 2013 m2 m Suy n 2009 m2 m2 n 2009 2 m n 2 m n 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau: m n 2009 m 1005 TH 1: m n n 1002 m n 287 m 147 TH : m n n 138 m n 49 m 45 TH 3: m n 41 n Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu B A H I D E C 1) a) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB AD a, BC 2a Diện tích hình thang ABCD S AB CD .AD a 2a .a 3a 2 b) ADH ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB , hai tam giác ADC IBD đồng dạng DC BC Suy ACD BDI (2) Từ 1 , ADH BDI Mà ADH BDH 450 BDI BDH 450 hay HDI 450 2) M A B D C Bài A D C B F E Chứng minh ABE ECF Chứng minh ABE FCE c.g.c AE EF Tương tự: AF EF AE EF AF AEF EAF 600 Bài A B' N C' H M B C A' D BH BC ' BH BB ' BC '.BA AB BB ' BH BA ' BH BB ' BC.BA ' Chứng minh BHA ' BCB ' BC BB ' Từ (1) (2) BC '.BA BA'.BC Tương tự : CB '.CA CA'.BC BC '.BA CB '.CA BA '.BC CA '.BC BA ' A ' C .BC BC a) Chứng minh BHC ' BAB ' b) Có BH BC ' BH CH BC '.CH S BHC AB BB ' AB AC BB ' AC S ABC Tương tự: AH BH S AHB AH CH S AHC ; CB.CA S ABC CB AB S ABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC 1 AB AC AC.BC BC AB S ABC c) Chứng minh AHM CDH g.g HM AH (3) HD CD (1) (2) Chứng minh AHN Mà CD BD BDH g.g AH HN BD HD (4) ( gt ) (5) Từ 3 , , 5 HM HN HM HN H trung điểm MN HD HD Bài Gọi E, F , P, Q trung điểm AB, CD, BC, AD Lấy điểm I , G EF K , H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ IF HQ GE KP Xét d đường thẳng cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC, EF M , N , G ' Ta có: AB. BM AN S ABMN 2 EG ' 2 G G ' hay d qua G CD. CM DN SCDNM G'F Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề qua điểm G, H , I , K Do có 2018 đường thẳng qua điểm G, H , I , K theo nguyên lý Dirichle phải tồn 2018 505 đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DUY XUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2017-2018 Mơn: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài (3,5 điểm) c) Chứng minh n3 17n chia hết cho với n d) Rút gọn biểu thức: Bài (4,5 điểm) x x 2 a 1 a a x a 1 a a x c) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: 4m dừng lại giây, tiếp 8m dừng lai giây, tiếp 12m dừng lại giây… Cứ từ A đến B kể dừng hết tất 155 giây Biết vật thể ln có vận tốc 2m / giây Tính khoảng cách từ A đến B a b2 3 d) Biết a 3ab b 3a b 10 Tính M 2018 Bài (4 điểm) c) Giải phương trình: x x 1 x x 12 d) Tìm giá trị nhỏ P x y x y 2010 Bài (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BD Gọi P, Q, R trung điểm BD, BC, DC c) Chứng minh APQR hình thang cân d) Biết AB 6cm, AC 8cm Tính độ dài AR Bài (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD M, cắt đường chéo AC N cắt đường thẳng AD K Chứng minh: 1 BN BM BK Bài (1,0 điểm) Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b2 c 4a 2b2 ĐÁP ÁN Bài c) n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, 2,3 nên chia hết cho 18n , suy điều phải chứng minh d) x x 2 a 1 a a x a 1 a a x x x 2a a a a x x x 2a a a a x 2 x x a a x a a x 1 a a 1 a a x x a a x a a x 1 a a 1 a a x x 11 a a a a2 2 11 a a a a Bài c) Gọi x số lần x , x , số lần dừng x Thời gian 12 4x x 2 2 1 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 x 1 x( x 1) x 1 2 Lập phương trình x 10 (tm) x( x 1) x( x 1) 155 3x x 310 31 x (ktm) Khoảng cách AB 10.10 1.2 220(m) d) a 3ab a 6a 4b 9a 2b 25 b3 3a 2b 10 b6 6a 2b 9a 4b 100 a 3a 4b 3a 2b b6 125 a b 53 Bài a b2 2018 2018 c) x x 1 x x 12 Đặt x2 x X có X X 12 X X X 12 X X X X X 3 X X 4 19 X 4 x x x (VN ) 2 X x2 x x2 2x x 2 x 1 x 1 x x d) P x y x y 2010 x x y y 2018 x y 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài A D R P B C Q c) PQ đường trung bình tam giác BDC , suy PQ / / AR nên APQR hình thang AQ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) PR BC (đường trung bình tam giác DBC) Suy AQ PR APQR hình thang cân d) Tính BC 10cm Tính chất đường phân giác ABC DA BA DA BA DC BC AC BC BC Thay số tính AD 3cm, DC 5cm, DR 2,5cm Kết AR 5,5cm Bài B A N D M C K AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành) Theo định lý Talet có: MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB BM BM AB MC AB MD MC MD Từ (1) (2) BN BK AB AB AB BM BM Mà MC MD CD AB nên (Điều phải chứng minh) BN BK Bài a b c 4a 2b a b c 2ab a b c 2ab 2 a b c a b c a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh UBND HUYỆN BÌNH XUN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể gio đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) x2 x 2 x2 Cho biểu thức A 1 x 8 x x x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: x 1 x 1 m 2 x a) x (với m tham số , m 0) m m 2 1 1 1 1 b) 8. x 4. x x x 4. x x x x x c) x 3 3x 5 5x 2 5x 17 x2 2016 x 2063 3 Bài (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để B n2 8 36 số nguyên tố b) Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết khơng q chữ số Bài (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H HD HE HF a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh: BH BE CH CF BC c) Chứng minh: Điểm H cách ba cạnh tam giác DEF d) Trên đoạn HB, HC lấy tương ứng điểm M , N tùy ý cho HM CN Chứng minh : Đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương 1 27 Chứng minh: a a b b b c c(c a) 2(a b c)2 ĐÁP ÁN Câu 2 x x a) ĐKXĐ: 8 x x x3 x x x Với thì: x x2 x 2 2x2 A 1 x 8 x x x x x x( x 2) x2 x 2 x2 2 2( x 4) x x x2 x x x 2 x 1 x x2 x2 4 x 2 x 4x 4 4x2 x x x2 4 x2 x x 2x x2 4 x x x 1 Vậy , với A 2x x x Xét với * x Giả sử biểu thức A nhận giá trị nguyên biểu thức 2A nhận giá trị nguyên 2x 2 A x 1;1 2x x x 1; x thỏa mãn * 1 (thỏa mãn A ) Với x 1 A 2(1) b) 11 (thỏa mãn A ) 2.1 Vậy để biểu thức A nhận giá trị nguyên x 1;1 Câu x 1 x 1 a) x m x m 1 x (2a) m m m +) Nếu m m m 2a x m m 1 +)Nếu m m 0. 2a x m(m 1) +)Nếu m m 2a x luon dung Kết luận: +Với m m tập nghiệm BPT S x / x m(m 1) +Với m tập nghiệm BPT S +Với m tập nghiệm BPT là: S x / x m(m 1) Với x A 2 1 1 1 b) x x x x x 2b x x x x Điều kiện x , Khi đó: 2 1 1 2b x x x x x x x x x 2 1 1 x x x x x x x x x 1 8 x 8 x2 x 4 x x x x 16 x 8 Vì x nên S 8 c) Trước hết chứng minh rằng: Nếu có số a, b, c thỏa mãn a b c a3 b3 c3 3abc (2c) Ta có: x 3 x 3 x x 17 x 2016 x 2063 x 3 3x x x 17 x 2016 x 2063 3 Áp dụng đẳng thức (2c) x 3 3x 5 x nên phương trình cho tương đương với : x 3 x x x 17 x 2016 x 2063 x 3 x x 15 17 x 2016 x 2063 x x 2019 x 2018 x x 1 x 2018 x x 1 x 2018 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S ;1;2018 5 Câu a) Ta có: B n 36 n 16n 64 36 n 20n 100 36n n 10 6n 2 n 6n 10 n 6n 10 Với n n2 6n 10 n2 6n 10 Nên để B số nguyên tố trước hết n2 6n 10 Hay n 3 n Thử lại , với n B 32 8 36 37 37 số nguyên tố nên n giá tị cần tìm b) Ta gọi số thỏa mãn đề số chấp nhận Các chữ số số chấp nhận phải số lẻ, khơng tích chúng chẵn Như có số chấp nhận có chữ số Khơng thể có số chấp nhận gồm chữ số tổng tích chữ số chúng số chẵn Tương tự số chấp nhận khơng thể có chữ số Ta xét số chấp nhận gồm ba chữ số (tổng tích chữ số số chấp nhận gồm ba chữ số phải số lẻ, chúng có hai chữ số, nên tổng tích chữ số vượt Như số chấp nhận gồm chữ số có thể: Hoặc gồm chữ số 1, Hoặc gồm hai chữ số 1, số lại chữ số 3,5,7 Hoặc gồm chữ số chữ số Do có 13 số chấp nhận có chữ số Tương tự , ta tính số chấp nhận gồm chữ số Tổng chữ số không vượt 45 số chấp nhận nên tích khơng vượt q 9, khả xảy : Hoặc gồm chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm ba chữ số hai chữ số Do số số chấp nhận gồm chữ số: 10 21 số Vậy số số thỏa mãn đề là: 13 21 39 số Câu A E F H P M B Q N D C K HD S HBC AD S ABC HE S HCA HF S HAB ; Tương tự có: BE S ABC CF S ABC HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 Nên AD BE CF S ABC S ABC HD HE HF 1 Vậy AD BE CF b) Trước hết chứng minh: BDH BEC BH BE BD.BC Và CDH CFB CH CF CD.BC BH BE CH CF BC. BD CD BC a) Trước hết chứng minh : AE AF Mặt khác EAF BAC AB AC ABC (c.g.c) AEF ABC c) Trước hết chứng minh AEB Nên AEF AFC Chứng minh tương tự, ta có: CDE CAB CED CBA AEF CED mà EB AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF , DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF d) Gọi K giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, ta có KMH KNC c.c.c KHM KCN (1) Mặt khác ta có: KCH cân K nên : KHC KCH (2) Từ (1) (2) ta có: KHC KHB HK phân giác góc BHC Vậy K giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên K điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định K Câu Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 a(a b) b(b c) c(c a) abc a b b c c a (*) Cũng theo BĐT Cô si : 33 abc a b c 1 33. a b b c c a a b c 3 Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc a b b c c a a b c Hay 27 ** abc(a b)(b c )(c a ) 2 a b c Từ * ** suy 1 27 a(a b) b(b c) c(c a ) a b c 2 Dấu " " xảy a b c (2) ... Suy n 2009 m2 m2 n 2009 2 m n 2 m n 2009 Mặt khác 2009 2009 .1 287 .7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau: m n 2009 m 1005 TH... Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a, b, c ta có 18a 18a 2 3a 2b c a b a c 2.2 18a ab 2 ac 18a 4ab 2ac 18a 18a 18a 2 3a 2b c 4ab 2ac 2a. 2b c 2b... 49 8a Ta có phương trình: a 8a 1 8a 9a a 18a 1 a 1hoặc a 1 x )2 x x 1 x x ( x 2)(2 x 3) x 2 )2 x x 1 8? ??7
Ngày đăng: 28/02/2021, 13:49
Xem thêm:
