Tài liệu ĐỀ HSG TOÁN 8

phòng giáo dục - đào tạo huyện kim sơn Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2010 - 2011 Môn: toán - lớp 8 Ngày thi: tháng năm 2011 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1. (3 điểm). Cho x + y = 5 và x.y = -84. Tính giá trị của biểu thức: a. 2 2 A x y= + . b. 3 3 B x y= . Bài 2. (2 điểm). Tìm a để đa thức 3 2 2x 3x 2x a + + chia hết cho x 2 Bài 3. ( 5 điểm). Cho phân thức 4 2 3 x 2x 1 A x 3x 2 + = . a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 4. c. Chứng minh rằng khi x >2 thì A luôn có giá trị dơng. Bài 4. (8 điểm) Câu 1 ( 2 điểm). Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có gócB=gócB . Chứng minh: / / / ABC / / / / A B C S AB.CB S A B .C B = Câu 2 ( 6 điểm). Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lần lợt lấy các điểm M và E sao cho AM = ME = EB. Gọi N là trung điểm của CD. Điểm G thuộc NE thoả mãn = 1 EG EN 3 . Đ- ờng thẳng AG cắt các đờng thẳng BC; DC theo thứ tự ở I và P a. Biết AB = 5 (cm). Hãy tính độ dài CP . b. Tìm tỷ số IB IC . c. Gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh M; G; K thẳng hàng. Bài 5. (2 điểm). Cho dãy số sau 1 1a = ; 2 1 1 2 a = + ; 3 1 1 1 2 3 a = + + ; ; 1 1 1 1 . 2 3 n a n = + + + + Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 3 n a a a na + + + + < với mọi n >1 ----- Hết ----- Lai thành 30 tháng 11 năm 2010 Ngời ra đề Trung văn Đức 1 phòng giáo dục - đào tạo huyện Kim sơn hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện Năm học 2010 - 2011 Môn: toán - lớp 8 Bài Đáp án Điểm Bài 1 3 điểm a) 1 điểm ( ) ( ) 2 2 2 2 2 A x y x 2xy y 2xy x y 2xy= + = + + = + 0,5 ( ) 2 5 2. 84 193= = 0,5 b) 2 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x y x 2xy y x y 2xy 193 2 84 361 = + = + = = 0,5 x y 19 = hoặc x y 19 = 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 B x y x y x xy y x y x y xy = = + + = + 0,5 - Nếu ( ) x y 19 B 19 193 84 2071 = = = 0,25 - Nếu ( ) x y 19 B 19 193 84 2071 = = = 0,25 Bài 2 2 điểm Gọi thơng của phép chia đa thức 3 2 2x 3x 2x a + + cho x 2 là Q(x) . Để 3 2 2x 3x 2x a + + chia hết cho x 2 thì ( ) 3 2 2x 3x 2x a x 2 .Q(x) + + = . 1 Đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của x. cho x = 2 ta có ( ) 3 2 2.2 3.2 2.2 a 2 2 Q(2) + + = a 8 0 a 8 + = = 0,75 Vậy với a 8= thì 3 2 2x 3x 2x a + + chia hết cho x 2 0,25 Bài 3 5 điểm a) 2 điểm Tử thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 + = = + 0,5 Mẫu thức: ( ) ( ) 3 3 2 x 3x 2 x x 2x 2 x x 1 2 x 1 = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 1 x 1 2 x 1 x 1 x x 2 x 1 x 2= + + = + = + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 A x 2 x 1 x 2 + = = + 0,5 b) ĐKXĐ: x 1 và x 2 . 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 A 4 4 x 1 4 x 2 x 2 = = = 0,5 2 2 điểm ( ) 2 2 2 x 2x 1 4x 8 x 6x 9 0 x 3 0 x 3 + = + = = = 0,75 x = 3 thỏa mãn đkxđ. Vậy x = 3 thì A = 4 0,25 c) 1 điểm Khi x > 2 ta có ( ) 2 x 1 A x 2 = 0,25 x 2 x 2 0 > > mà ( ) 2 x 1 0 x 1 > 0,5 ( ) 2 x 1 A 0 x 2 x 2 = > > . Hay khi x > 2 thì A luôn có giá trị dơng 0,25 Bài 4 8 điểm Câu 1 2 điểm H ' C ' B ' A ' H C B A Vẽ AH BC; A'H' B'C' . ta có ABC A 'B 'C ' 1 S AH.BC; S A'H'.B'C ' 2 = = 1 ABC A 'B 'C ' S AH.BC AH BC . S A'H'.B'C ' A'H' B'C' = = (1) 0,5 Xét ABH và A'B'H' có gócAHB=gócAHB và gócB=gócB ABH ~ A'B'H' (g.g) 0,5 AB AH A'B' A'H' = (2) 0,5 Từ (1) và (2) ABC A 'B 'C ' S AB BC AB.BC . S A'B' B'C ' A'B'.B'C ' = = 0,5 Câu 2 6 điểm E N K P M G I D C B A 3 a) 3 điểm G NE ; = 1 EG EN 3 nên 1 GE GN 2 = 0,5 áp dụng hệ quả định lý Talet trong NGP với AE // NP ta có: GE AE GN NP = 1,0 Thay GE 1 10 ; AE GN 2 3 = = ta tính đợc 20 NP 3 = 0,75 Tính 20 5 25 CP NP NC 3 2 6 = = = (cm) 0,75 b) 1 điểm Vì AB // CP ABI ~ PCI 0,5 IB AB IC CP = . Thay AB = 5; 25 IB 6 CP 6 IC 5 = = 0,5 c) 2 điểm Chứng minh AMG ~ PKG 0,5 gócAGM=gócKGP 0,5 Mà gócAGM+gócMGP=180 0 ( kề bù) suy ra gócKGP+ gócMGP=180 0 0,5 Suy ra gócMGK=180 0 . Vậy M, G, K thẳng hàng 0,5 Bài 5 2 điểm k 2 ta có 2 k k 1 k 1 1 k.a k.a .a < ( vì k k 1 a a > ). 0,25 Ta có: k k 1 k 1 k k 1 k k 1 k a a 1 1 1 a a a .a k.a .a = = 0,25 Suy ra 2 k k 1 k 1 1 1 k.a a a < 0,5 Cho k = 2; 3; .; n ta có: 2 2 1 2 1 1 1 2a a a < ; 2 3 2 3 1 1 1 3a a a < ; .; 2 n n 1 n 1 1 1 na a a < 0,25 Cộng từng vế các bđt trên ta đợc: 2 2 2 n 1 2 2 3 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 2a na a a a a a a a a a + + < + + + = < = 0,5 2 2 2 1 2 n 1 1 1 . 1 1 2 a 2a na + + + < + = (đpcm) 0,25 Ghi chú: Làm theo cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tơng đơng đáp án. Điểm toàn bài bằng tổng các điểm thành phần, không làm tròn. 4 Lai thµnh 30 th¸ng 11 n¨m 2010 Ngêi ra ®Ò Trung v¨n §øc 5 . Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2010 - 2011 Môn: toán - lớp 8 Ngày thi: tháng năm 2011 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề. Ngời ra đề Trung văn Đức 1 phòng giáo dục - đào tạo huyện Kim sơn hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện Năm học 2010 - 2011 Môn: toán - lớp 8 Bài Đáp