Tài liệu DE HSG NGHE AN TOAN 12-2010

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 1 x 1 2 x x 2− + + + − = + b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: (m 2)x m x 1+ − ≥ + có nghiệm thuộc đoạn [-2;2] . Câu 2. (2,0 điểm): Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 y y x 3x 4x 2 1 x y 2 y 1    − −   + = + + + − = − Câu 3. (5,0 điểm) a) Cho x,y là các số thực thỏa mãn: 4 4 log ( 2 ) log ( 2 ) 1x y x y+ + − = . Chứng minh rằng: 2x y 15− ≥ . b) Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn: 2 2 2 2 (a b c) 2(a b c )+ + = + + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 a b c P (a b c)(ab bc ca) + + = + + + + . Câu 4. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: 2 2 x y 2x 4y 4 0+ − + + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 5. (5,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gọi S C , S D theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh: D C 2S .S .sin V 3AB α = , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD. b) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 Q SA'.SB' SB'.SC' SC'.SA' = + + . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 3 2 2 y x 3mx m= + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x x 2010 2010 12 12+ + = . b) Giải hệ phương trình : 2 2 2 1 y(x 1) x x 1 y(x y) x x        − + = − − = . Câu 3. (5,0 điểm) a) Cho x,y là các số thực thỏa mãn: 4 4 log (x 2y) log (x 2y) 1+ + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x y= − b) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a b c 1+ + = . Chứng minh rằng: ab bc ca 3 ab c bc a ca b 2 + + ≤ + + + Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gọi S C , S D theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: D C 2S .S .sin V 3AB α = , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD Câu 5. (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm N, trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2NC, DP = 2PC. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 GDTX CẤP THPT Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (5,0 điểm) a) Cho hàm số: y = ( ) ( ) 2 x 1 x mx m− + + (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2 x 1 x 1 + + trên đoạn [ ] 1;2− . Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 2 2 2 cos 12 cos 16 sin 4 sin 8 2x x x x+ = + + b) Giải hệ phương trình: 2 2 x 3x 4y y 3y 4x      = − = − Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn n 5 3 1 x , x 0 x    ÷   + > . Biết: n 1 n 4 n n 3 C C 7n 21 0 + + + − − − = , n ∈ N * b) Tìm giới hạn: 2 x 0 cosx cos2x lim x → − Câu 4. (5,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là hình chiếu vuông góc của A lên SC. a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C') . b) Tính tỉ số ' ' S.ABC S.ABC V V , với ' ' S.ABC V và S.ABC V lần lượt là thể tích các khối chóp S.AB'C' và S.ABC . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Đề chính thức . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A Thời gian làm bài: 180 phút Câu. sinh: . Số báo danh: Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM