Tài liệu Đề thi Toán 6 HSG tham khảo

§Ị thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n 6 Thêi gian: 150 phót (Kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) C©u 1 (2 ®iĨm) TÝnh a/ A = 123 .9899100101 123 .9899100101 +−++−+− +++++++ b/ B = 423134846267.423133 423133846267.423134 + − C©u 2 (2 ®iĨm) a/ Chøng minh r»ng: 10 28 + 8 chia hÕt cho 72 b/ Cho A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 2001 + 2 2002 B = 2 2003 So s¸nh A vµ B c/ T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 ®Ịu lµ c¸c sè nguyªn tè. C©u 3 (2 ®iĨm) Ngêi ta chia sè häc sinh líp 6A thµnh c¸c tỉ, nÕu mçi tỉ 9 em th× thõa 1 em, cßn nÕu mçi tỉ 10 em th× thiÕu 3 em. Hái cã bao nhiªu tỉ, bao nhiªu häc sinh ? C©u 4 (3 ®iĨm) Cho +ABC cã BC = 5,5 cm. §iĨm M thc tia ®èi cđa tia CB sao cho CM = 3 cm. a/ TÝnh ®é dµi BM b/ BiÕt BAM = 80 0 ; BAC = 60 0 . TÝnh CAM c/ TÝnh ®é dµi BK thc ®o¹n BM biÕt CK = 1 cm. C©u 5 (1 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 1 2 100 1 . 2 4 1 2 3 1 2 2 1 <++++ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI – TOÁN 6 Năm học : 2006 – 2007 Thời gian : 90 phút (không kể phát đề) Ngày thi : 6.11.2006 Bài 1 : 2 điểm 1 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất : 1) 22344 . 36 + 44688 . 82 2) 1 + 2 + 3 + … + 2006 + 2007 3) 132 + 128 + 124 + … + 72 + 68 Bài 2 : 2 điểm Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 ? Bài 3 : 2 điểm Để đánh số trang của một quyển sách dày 2746 trang cần dùng bao nhiêu chữ số ? Bài 4 : 2 điểm Tìm x biết : (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 98) + (x + 99) = 9900 Bài 5 : 2 điểm 1) Cho 2006 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu điểm nằm giữa hai điểm khác ? 2) Trên đường thẳng xy lấy 1003 điểm phân biệt. Hỏi trên đường thẳng xy có bao nhiêu tia ? ------------------------------------------------------------------------------- * Chú ý : Học sinh được sử dụng máy tính bỏ túi. C©u 1 (4 ®iĨm) T×m x ∈ z a) b) C©u 2 (4 ®iĨm): a) Chøng minh : b) So s¸nh víi n ∈ N C©u 3 (4 ®iĨm) : 2 49 119109 2 2.35 )5.(7.3)7.(5.12 4 3 −+− =       x 1000 499 )1.( 2 10 1 6 1 3 1 = + ++++ xx 1 1024 3 . 16 3 8 3 4 3 2 3 <−+−+− 1 9 3 3 + − = n n A 2 8 5 5 + − = n n B Đội văn nghệ của trờng Cầu Diễn có từ 70 đến 100 học sinh. Số nam chiếm 3/8 tổng số. Trong đó 2/9 số nam là số học sinh nam khối 6. Trong số học sinh 9 nữ của trờng thì có tới 4/9 số nữ học sinh nữ khối 6. Tính số học sinh nam, học sinh nữ khối 6. Câu 4 (4 điểm) : Cho = 135 o . Kẻ 2 tia Bx, By nằm trong góc ABC sao cho = 90 o , = 90 o . Kẻ tia Bm là phân giác của a) So sánh và b) Vẽ tia Bz sao cho BC là tia phân giác của chứng tỏ tia Bz, BA đối nhau. c) Chứng tỏ Bm là phân giác của Câu 5 (4 điểm) : Cho A là số nguyên dơng. Biết rằng trong 3 mệnh đề sau đây (P, Q, R) chỉ có duy nhất một mệnh đề sai. a) Hãy tìm mệnh đề sai. b) Hãy tìm A. P : A + 51 là số chính phơng. Q : A có chữ số tận cùng là 1. R : A - 38 là số chính phơng. 3 ABC ABx ABy xBy ABy CBx xBz ABC Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Câu 1: Tính a/ = 101 51 51.101 = (1 điểm) b/ B = 1 423134846267.423133 423133846267846267.423133 = + + (1 điểm) Câu 2: a/ Vì 10 28 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 10 28 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 10 28 + 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Có 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 2002 + 2 2003 => 2A A = 2 2003 1 => A = B 1. Vậy A < B. (1/2 điểm) c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0) + Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5 + Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm) Câu 3: Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em nh khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trớc 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh) (1 điểm) Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 4 . 10 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm giữa B và M => BC + CM = BM(1/2 điểm) => BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM BAC => CAM = 80 0 60 0 = 20 0 (1/2 điểm) 4 B C A MKK' c/ XÐt 2 trêng hîp: + NÕu K n»m gi÷a C vµ M tÝnh ®îc BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) + NÕu K n»m gi÷a C vµ B tÝnh ®îc BK = 4,5 (cm) (1/2 ®iÓm) C©u 5: Ta cã: 1 100 99 100 1 1 2 100 1 . 2 4 1 2 3 1 2 2 1 100 1 99 1 2 100 1 4 1 3 1 2 4 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 <=−<++++⇒ −< −< −< −<                  5 (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Thực hiện các phép tính: a/ 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 7 3 + + + + + b/ ( 1 + 2 + 3 + . + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) : +++ 6 1 5 1 4 1 3 1 Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng 36 36 - 9 10 chia hết cho 45 b/ Tính x, y, z biết rằng: = + = ++ = ++ 211 yx z zx y zy x x + y + z c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a 2 b 3 ) 10 + ( 3b 2 c 4 ) 15 = 0 Câu 3 (2 điểm) Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi đợc 5 4 quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ tr- a. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ? Câu 4 (3 điểm) ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 90 0 ). Đờng cao Ah của tam giác ABC và đờng cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng minh AN = BC. Câu 5 (1 điểm) Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dơng. Chứng minh rằng tổng 25 số ấy là một số dơng 6 Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Câu 1: 5 2 5 3 8 1 6 1 4 1 5 8 1 6 1 4 1 2 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 7 1 3 / += + + + + + a = 1 (1 điểm) b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0 Do đó giá trị của biểu thức bằng 0. Câu 2: a/ Ta có 36 36 có tận cùng bằng 6 9 10 có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm) Do đó 36 36 - 9 10 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45 (1/4 điểm) b/ Ta có: zyx zy x zx y zy x ++= + = ++ = ++ 211 (1) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta đợc: ( ) zyx zyx zyx ++= ++ ++ 2 (2) Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0. Nếu x + y + z 0 thì từ (2) suy ra: x + y + z = 2 1 (1/2 điểm) Khi đó (1) trở thành: 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 = = + = + z z y y x x 7 Do đó: = = = = = = 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 z y x zx yy xx Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2) (1/2 điểm) c/ Ta có: 2 10 . a 20 . b 30 + 3 15 . b 30 . c 60 = 0 Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên: = = = = 0. 0. 0 60 . 30 0 30 . 20 cb ba cb ba (1/4 điểm) Do đó b = 0, a và c tuỳ ý hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý hoặc a = 0; b = 0; c = 0. Câu 3: Ta có sơ đồ sau: A C B Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t 1 (phút) Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t 2 (phút) => t 2 - t 1 = 15 (phút) và v 1 = 4 km/h; v 2 = 3 km/h. (1/2 điểm) Ta có 3 4 2 1 = v v mà vận tốc và thờigian là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch nên: (1/2 điểm) 8 15 1 15 34 12 3 1 4 2 3 4 1 2 == === tttt t t => t 2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ) (1/2 điểm) Vậy quãng đờng AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km) Và ngời đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm) Ta có: )( )( gtCEAC gtBCNA NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc cùng tù) (1) (1 điểm) Lại có: =+ =+ vCE vCC 1 32 1 32 C 2 = E (2) và AC = CE (gt) (3) (1 điểm) Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) Vậy AN = BC (1/2 điểm) Câu 5: (1 điểm) Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dơng vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số bât kì là âm, trái với đề bài. Tách riêng một số dơng đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dơng nên tổn của 6 nhóm đó là số dơng. Vậy tổng của 25 số đó là số dơng. Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 - 7x - 6 b/ Giải phơng trình: x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0 9 A B C E N K Câu 2 (2 điểm) a/ Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 12 2 68 2 3 + + xx xx Câu 3 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) (ax + by) 2 b/ Chứng minh rằng: x 3m+1 + x 3n+2 + 2 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n. Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 111 ++ cba Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Câu 1 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 - 7x - 6 = x 3 - 4x - 3x - 6 = x(x 2 - 2 2 ) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x 2 - 2x - 3) 10 [...]... bằng /3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 x 36 + x 66) = (x + x11)(x2 x12 + x22)( x6 x 36 + x 66) (1/4 điểm) 9 99 a/ Với x chẵn thì x , x đều chẵn x lẻ thì x9, x99 đều lẻ => x9 + x99 đều chẵn với mọi x nguyên dơng (1/4 điểm) 11 11 b/ Ta có x = 2048 nên x + x = 2050 (1/4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm)... + + = 3 + + + + + + 3 + 2 + 2 + 2 = 9 a b c a c a c b b Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3 Vậy Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) 13 a/ Tính giá trị biểu thức: P = (5 +2 6) 5 2 3 + 2 6 b/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dơng thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có: 1 + a+ b 1 = b+ c 2 a+... (**) 2 = VP (Đpcm) a + c Câu 2 a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6( 7 - y2) Vì (2x + 2)2 0 => 7 - y2 0 => 7 y2 mà y Z => y = (1/4 điểm) (1/4 điểm) 0; ; 1 2 (1/4 điểm) + Với y = 1 => (2x + 2) = 6( 7 - 1) 2x + 4x - 16 = 0 => x1 = 4; x2 = -2 + Với y = 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 Z (loại) (1/4 điểm) 2 Z (loại) + Với y = 0...11 = (x + 2)(x - 1 - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) 4 2 b/ x -30x + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 x 5 = 0 x = 5 => (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x = 6 x + 6 = 0 2 (1/2 điểm) (*) (1/2 điểm) (1/2 điểm) Câu 2 a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c... Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c Chứng minh rằng phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 luôn luôn vô nghiệm Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Câu 1 a/ P = ( 3+ 2)2 ( 3 2)2 = ( 3+ 3+ 2 (1/2 điểm) 2 )( 3 2 ) = 3 2 =1 (1/2 điểm) 14 b/ Ta có: VT = a b + a b b c b c (*) (1/4 điểm) Từ a + c = 2b => a = 2b . 33 )( x 6 x 36 + x 66 ) = (x + x 11 )(x 2 x 12 + x 22 )( x 6 x 36 + x 66 ) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn thì x 9 , x 99 đều chẵn x lẻ thì x 9 , x 99 đều lẻ. có: 12.34 - 6 . 68 = 0 Do đó giá trị của biểu thức bằng 0. Câu 2: a/ Ta có 36 36 có tận cùng bằng 6 9 10 có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm) Do đó 36 36 - 9 10