Tài liệu ôn thi toán lớp 12 tham khảo (1)

Ngày soạn : MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁPTÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Tiết: Chuyên đề I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh: 1.. Về kiến thức: - Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, một số phương ph

Ngày soạn : MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP

TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Tiết:

Chuyên đề

I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh:

1 Về kiến thức:

- Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, một số phương pháp tính tích

phân đã học để vận dụng tính tích phân

- Nắm được phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x)

với P(x), Q(x): có bậc cao nhất là 2

2 Về kỹ năng:

- Nhận dạng, tính được một số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản.

- Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm và một số phương pháp tính

tích phân để tính tích phân

3 Về tư duy và thái độ:

- Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ II- CHUẨN BỊ :

1 Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ.

2 Học sinh: - Ôn trước các kiến thức đã học: Nguyên hàm, tích phân.

III- PHƯƠNG PHÁP:

- Nêu và giải quyết vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp… IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp :

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng)

2 1

2x 3

x

x 1

I = + d

+

∫

Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm trong bảng sau: Máy chiếu

3 Bài mới:

GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư

Mẫu Mẫu

Trong đó: thương và dư : hằng số

rồi tách đưa về dạng có thể tính được tích phân Tiết này ta xét tiếp tích phân hàm hữu

tỉ dạng bậc 2 / bậc 2 Vậy khi gặp dạng này, để tính tích phân ta sẽ làm như thế nào? HSTL: Chia tử cho mẫu

GV: Vậy thương và dư có kết quả là gì?

HSTL: Thương: là hằng số , dư : là đa thức bậc nhất hoặc hằng số

GV: Lúc này dẫn tới việc tính tích phân của các hàm số hữu tỉ dạng:

Dạng 1: 2 1

ax +bx+c

Dạng 2: 2 x

+ + +

Ta sẽ lần lượt xét từng dạng:

Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: 2 1 x

ax x

g

e

=

+ +

∫ (a≠ 0)

Nội dung Hoạt động của GV-HS

I Dạng 1:

a) ∆>0 :

Cách 1: Đồng nhất

2

A B

b c =a x x x x =a x x + x x

Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x các giá

trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm x1, x2)

Cách 2: Thêm, bớt rồi tách

2

ax bx c = a x x x x( )( ) = a x( x ) x x − x x

b) ∆= 0 :

ax bx c = a x x( ) = a x x( )

2

b x

a

= −

c) ∆ < 0:

ax bx c = a (x m) n

+ + + + (Đặt x + m = n.tant)

* Ví dụ áp dụng:

-VD1:

1

0

x 6x 8

d I

x

=

∫

2

d

- GV: Dùng phương pháp

gì để tách?

- HS: Đồng nhất 2 vế

- GV: Khi đồng nhất, làm thế nào để tìm A, B ?

- HS: Ta có thể giải hệ hoặc lấy x giá trị bất kì để tìm A, B (thường lấy các giá trị nghiệm để tìm A,

B cho nhanh)

- GV: Sau khi tách , tìm nguyên hàm bằng công thức nào?

- HS: Dùng công thức 2)

- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?

- HS: Dùng công thức 4)

- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?

- HS: Dùng công thức 6)

- GV: Cho 3 ví dụ, hãy

nêu cách làm của từng ví dụ?

- HS:

VD1: dạng 1 với ∆>0

VD2: dạng 1 với ∆= 0

VD3: dạng 1 với ∆< 0

- GV: Yêu cầu 3 nhóm

hoạt động và cử đại diện nhóm lên trình bày

- Học sinh dưới nhận xét

và GV chính xác hóa

1

0

1 0 1

0

1

(ln 4 ln 2 )

2

ln

1

(ln 3 ln 2)

2

1 3

ln

2 2

x x

x x

=> = −

−

=

−

=

∫

-VD2:

1

0

1

2 0

1

0

x

4 4x 1

x

4( )

2

.

1 4

2

1 1 1

6 2 3

d

I

x

d

x

x

=

=

+

−

=

+

−

∫

∫

NX:

1

0

I

x

- VD3:

I

x

Đặt: x+1=2tant

2 t 2

− < < 

dx=2(1+tan2t).dt

- GV: yêu cầu học sinh

dùng cách thêm bớt rồi tách ( về nhà)

- GV: Còn cách phân tích nào khác không?

- HS: Có thể dùng hằng đẳng thức

x -1 1

t 0

4

π

.

t dt

t

π π

+

+

Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2:

2

x

x ( 0, 0)

ax x

g

e

+

+ +

Nội dung Hoạt động của GV- HS

II Dạng 2:

a) ∆>0 :

2

b c a x x x x

- GV: Ta có thể dùng phương pháp đồng nhất để phân tích và tách được không?

b c a x x x x a x x x x

Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x

các giá trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm

x1, x2)

Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm ở mẫu rồi tách

Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm của mẫu rồi

tách

- VD 4:

1

0

4

x 3x 2

x

x

+

=

∫

Cách 1:

2

4

( 1).( 2)

A x B x

=

Đồng nhất, ta có: A=3; B=−2

1

4

0

3ln 1 2ln 2

3ln 2 2ln 3 2 ln 2

5ln 2 2ln 3

∫

Cách 2:

2

3x 2 ( 1).( 2)

( 1).( 2) ( 1).( 2)

x

+

như dạng 1 trong trường hợp ∆>0

- GV: Ngoài ra có thể dùng phương pháp nào để tách?

- HS: Ta có thể thêm bớt để tách

- GV: Hãy phân tích rồi tách bằng phương pháp đồng nhất?

- HS: nhận nhiệm vụ, tính toán và đưa kết quả

- GV: Hãy dùng 2 cách còn lại để phân tích ( Yêu cầu về nhà, có hướng dẫn)

- GV: Nếu không phân tích theo x+1 ta có thể phân tích theo x+2 được không?

- HS: Ta có thể phân tích được theo x+2 như sau:

Cách 3:

}

1 ( >0)

du

dang u

+

∆

6 44 7 4 48

b) ∆= 0 :

- VD 5:

1

0

x 6x 9

x

x

−

=

∫

Cách 1:

2

2

( 3)

( 3)

x

+ +

=

+

3; 10

=> = = −

Cách 2:

2

3 1 3 1

6x 9 ( 3)

3( 3) 10

( 3) ( 3)

3 10

3 ( 3)

x

x x

+

Đáp số: 4 5

3ln

3 6 −

c) ∆< 0 :

- VD 6:

3

2

1

x

+

=

∫

I I

64 7 48 6 4 7 48

( 1).( 2) ( 1).( 2)

x

+

- GV: Hãy nêu cách giải ?

- HS: Có thể làm theo 3 cách giống như trên:

Cách 1: Đồng nhất Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm ở mẫu để tách

Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm của mẫu

- GV: Tuy nhiên chọn theo cách nào cho hợp lý, lời giải ngắn gọn,

ít phức tạp

- GV: Gọi học sinh tại chỗ giải theo cách 1, cách 2

- GV: Yêu cầu học sinh về nhà làm theo đủ 3 cách và rút ra kinh nghiệm cho bản thân

Đặt : x – 1 = 2tant

2 t 2

− < < 

dx = 2(1+tan2t)dt

2

t dt

t

+

+

ln 2

8

- HS: Phân tích thành I1 và I2 rồi

áp dụng công thức 2) và dạng 1 (với ∆< 0)

- Yêu cầu học sinh thực hiện, GV chính xác hóa

Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác có thể đưa về dạng 1, dạng 2

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

- VD 7:

1

xdx I

=

∫

Đặt t = x2

dt = 2xdx

x 0 1

t 0 1

- GV: I7 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?

- HS: Không rơi vào dạng nào

- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?

- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng

1 với ∆ > 0

- GV: Sử dụng một trong các cách đã học

để phân tích rồi tách

- HS: Thực hiện

x -1 1

t 0

4

π

2 0

1

0

1

0

1 0 1

0

1

1

2 ( 4).( 9)

1

(ln 9 ln 4 )

10

ln

(ln ln )

ln

dt I

t t

dt

t t

dt

t t

=> =

=

−

=

−

=

∫

∫

∫

- VD 8:

x dx

I

x x

=

− −

∫

Đặt t = x3

dt = 3x2 dx

x 0 1

t 0 1

1

0

1

ln 2

9

x x dx tdt

I

dt

= −

∫

- VD 9:

- GV: I8 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?

- HS: Không ở dạng nào

- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?

- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng

2 với ∆ > 0

- GV: Sử dụng một trong các cách đã học

để phân tích rồi tách

- HS: Thực hiện

- GV: Ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp đổi biến đưa về các dạng đã biết không?

- HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD

8 như trên

- GV: Vậy hãy tìm A, B, C sao cho

2

1; 4; 3 ta co':

2 41 91

= + ( 1).( 4).( 3) 1 4 3

x

- HS: Ta hoàn toàn có thể làm được bằng phương pháp đồng nhất Từ đó tách để có

2x +41x-91

(x−1)(x − −x 12)d

∫

- GV: Vậy với các hàm hữu tỉ bậc cao hơn

ta cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như các hàm hữu tỉ dạng 1, dạng 2 Như vậy, trên cơ sở tiết này được cung cấp cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2, các em có thể vận dụng một cách linh hoạt khi gặp các dạng bậc cao hơn

4 Củng cố, dặn dò:

- Kiến thức cơ bản đã học trong bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2

- Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phương pháp và cách biến đổi hoặc cách đặt phù hợp với từng hàm số

- Giờ sau tiếp tục luyện tập về tích phân

5 HDVN: Về nhà làm các bài tập sau:

V Rút kinh nghiệm

……….

……….

……….

……….

2

2

0

x

1) I=

6x 7

d

x + −

∫

1

2

0

x

2) I=

25x 10x 1

d

∫

1 2 1

x 3) I=

4x 7

d x

1 2 0

( 2) x 4) I=

5x 4

x d x

−

∫

1 2 0

(2x 5) x 5) I=

8x 16

d x

−

∫

6 2 2

(2x 1) x 6) I=

4x 20

d x

−

∫