UBND HUYỆN ANH SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,5 điểm) a. Cho: 2 2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x − − − = + − − − + − - Thực hiện rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a + b = c thì a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c. b. Chứng minh cba c ab b ac a bc ++≥++ với mọi số dương a, b, c. Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: 6 4212 4 208 8 7216 2 64 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x xx x xx x xx x xx Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh BF = CE. HƯỚNG DẪN CHẤM 1 Bài 1: ( 2,5 điểm) 5 42 )2)(5( 2 2 1 2 − − − −− −− + − = x x xx xx x A Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 0,25 )2)(5( 158 )2)(5( 2)(42(25 22 −− −+− = −− −−−−−+− = xx xx xx xxxxx A 0,25 2 3 2)(5( )3)(5( − +− = −− −−− = x x xx xx A 0,25 ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x − − + = = − + − − 0,25 A nguyên khi và chỉ khi 1 2x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 ⇒ x=3, hoặc x=1. 0,25 Đặt P = a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 -2 b 2 c 2 - 2a 2 c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 - 4a 2 b 2 - 4b 2 c 2 - 4a 2 c 2 0,25 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = (2a 2 + 2b 2 + 2ab ) 2 - 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) 0,25 = 4[(a 2 + b 2 + ab) 2 - a 2 b 2 - c 2 (a 2 +b 2 )] 0,25 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab + a 2 b 2 - a 2 b 2 -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] 0,25 = 4(a 2 +b 2 )[ (a 2 +b 2 ) +2ab -(a+b) 2 ] = 0 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 0,25 Bài 2: ( 1,5 điểm) ⇔ 2(a 2 + b 2 + c 2 )≥ 2(ab + ac + bc) 0,25 ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 -2ab -2ac - 2bc ≥ 0 0,25 ⇔ (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b) 2 ≥ 0 …) nên có đpcm 0,25 Câu b ⇔ cba abc ab abc ac abc bc ++≥++ 222 )()()( 0,25 Nhân hai vế với số dương abc được: ⇔ abcacbbcaabacbc 222222 )()()( ++≥++ 0,25 Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: ≥++ 222 )()()( abacbc abcacbbca 222 ++ ⇒ đpcm 0,25 Bài 3: (1,5 điểm) ⇔ 6 6)6( 4 4)4( 8 8)8( 2 2)2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 6 4 4 4 888 2 2 2 + +++ + ++= + +++ + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 4 4 88 2 2 + + + = + + + xxxx ⇔ 6 3 4 2 8 4 2 1 + + + = + + + xxxx ⇔ )6)(4( 245 )8)(2( 165 ++ + = ++ + xx x xx x 0,25 2 ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) ⇔ (5x+16)(x 2 +10x + 24) = (5x+24)( x 2 +10x + 16) 0,25 ⇔ 5x 3 + 50x 2 + 120x + 16x 2 + 160x + 16.24 = 5x 3 + 50x 2 + 80x + 24x 2 + 240x + 24.16 ⇔ 8x 2 + 40x = 0 0,25 ⇔ 8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED 0,25 ⇒ ADE = DCF ⇒ EDC + DCF = EDC + ADE 0,25 EDC + ADE = 90 0 nên DE ⊥ CF 0,25 MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,25 MA = FE nên EF = CM 0,25 Câu b: 1,0 điểm ⇒ ∆MCF =∆FED ⇒ MCF = FED 0,25 Từ MCF = FED chứng minh được CM ⊥ EF 0,25 Tương tự a) được CE ⊥ BF 0,25 ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui. 0,25 Câu c: 0,75 điểm ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,25 ⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF 0,25 Lúc đó M là trung điểm của BD 0,25 Bài 5: (1,5 điểm) Trong ∆BMF có AD//MF nên: BD BM BA BF = 0,25 Trong ∆CAD có AD//ME nên: CD CM CA CE = 0,25 Chia vế theo vế được: CM CD BD BM CE CA BA BF = 0,25 3 A B C D M E F A B CD M E F BD CD CE CA BA BF =⇒ . (BM=CM) 0,25 AD là phân giác nên: AB AC BD CD = 0,25 Thay vào trên được: AB AC CE CA BA BF = . CEBF CE BF =⇒=⇒ 1 0,25 4 . 4)4( 8 8 )8( 2 2)2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2 + +++ + ++= + +++ + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 4 4 8 8. Câu a: 1,25 điểm DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED 0,25 ⇒ ADE = DCF ⇒ EDC + DCF = EDC + ADE 0,25 EDC + ADE = 90 0 nên DE ⊥ CF 0,25 MC = MA (BD là trung trực của AC)