Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GD&ĐT CƯM’GAR TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị của[.]
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN PHỊNG GD&ĐT CƯM’GAR LỚP TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) ( x 1) 2x2 4x x2 x A : x ( x 1) x3 x 1 x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A Bài 2: (6,0 điểm) 2 a) Cho 4a b 5ab 2a b Tính: P ab 4a b 2 1 1 b) Giải phương trình x x x x x x 12 x x 20 2 c) Xác định a b để đa thức f ( x) x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Bài 3:(5,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 60 , phân giác BD Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD a) Tứ giác AMNI hình gi? Chứng minh b) Cho AB 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ' , BB , CC ' , H trực tâm HA HB HC a) Tính tổng AA BB CC b) Gọi AI phân giác tam giác ABC ; Gọi IM , IN thứ tự phân giác góc AIC AIB Chứng minh rằng: AN BI CM BN IC AM = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) ( x 1) x2 x x2 x A : x ( x 1) x3 x x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A Lời giải ĐXXĐ: x 0, x 1, x a) Rút gọn được: A x 1 x 1 x2 1 x2 x 1 0 x 1 b) Để A x 1 x x x 2 Do x x x phải dấu mà nên x x Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1, x 0, x 1 A Bài 2: (6,0 điểm) 2 a) Cho 4a b 5ab 2a b Tính: P ab 4a b 2 1 1 b) Giải phương trình x 3x x x x x 12 x x 20 2 c) Xác định a b để đa thức f ( x) x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Lời giải 2 a) Cho 4a b 5ab với 2a b Tính: P ab 4a b 2 4a b 5ab (4a b)(a b) 0 b 4a b a - Mà 2a b 4a 2b b nên a b a2 P 4a a Ta có : 2 Vậy 4a b 5ab 2a b P 1 1 (1) b) x x x x x x 12 x x 20 ĐKXĐ: x 1, x 2, x 3, x 4, x (1) 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5) 1 1 1 1 ( x 1) ( x 2) ( x 2) ( x 3) ( x 3) ( x 4) ( x 4) ( x 5) 1 ( x 1) ( x 5) 8( x 5) 8( x 1) ( x 1)( x 5) x 40 x x x x x 27 0 x 3 x 0 x 3 (thỏa mãn) x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S 3; 9 2 c) Xác định a b để đa thức f ( x) x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Gọi thương phép chia đa thức Để đa thức f x f x P x cho đa thức x x chia hết cho đa thức x x ta có x x3 21x ax b x x P ( x) Hay x x 21x ax b x x 1 P( x) 1 Vì đẳng thức (1) với Với với x x 2 với x x ta có 24 9.23 21.22 2a b 0 2a b 28 (2) Với x 1 ta có 1 21 1 a b 0 b a 31 (3) Thay 3 vào 2 ta : 2a a 31 28 a 1 b 1 31 30 Vậy với a 1 b 30 f x chia hết cho đa thức x2 x Bài 3: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 60 , phân giác BD Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD a) Tứ giác AMNI hình ? Chứng minh b) Cho AB 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Lời giải B N M D A I C AMNI hình thang a) Chứng minh tứ giác Chứng minh AN MI , từ suy tứ giác AMNI hình thang cân AD 3 b)Tính BD 2 AD cm AM BD cm Tính NI AM DC BC cm cm, MN DC cm 3 AI cm Tính Bài (5,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ' , BB , CC ' , H trực tâm HA HB HC a) Tính tổng AA BB CC b) Gọi AI phân giác tam giác ABC ; Gọi IM , IN thứ tự phân giác góc AIC AIB Chứng minh rằng: AN BI CM BN IC AM Lời giải A C' M B' C N H A' I B S HBC HA BC HA S ABC AABC AA a) Ta có ; S HAB HC S HAC HB ; ' S CC S BB ABC Tương tự: ABC HA HB HC S HBC S HAB S HAC 1 AA BB CC S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , ACI BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN IC.AM = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... với x x ta có 24 9 .23 21 .22 2a b 0 2a b 28 (2) Với x 1 ta có 1 21 1 a b 0 b a 31 (3) Thay 3 vào 2 ta : 2a a 31 28 a 1 b 1 31... x 2) ( x 2) ( x 3) ( x 3) ( x 4) ( x 4) ( x 5) 1 ( x 1) ( x 5) 8( x 5) 8( x 1) ( x 1)( x 5) x 40 x x x x x 27 0 x 3 x 0