PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Câu (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a ) A 53.81 47.14 81.47 14.53 b) B 2100 550 2100 11 550 2 2 c )C 1.4 4.7 7.10 97.100 d ) D 1 1 1.3 2.4 3.5 2019.2021 Câu (4,0 điểm) a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN a, b 300;UCLN a, b 15 a 15 b b) Cho x,y số nguyên Chứng minh : Nếu x y 37 13 x 18 y 37 Câu (4,0 điểm) 1) Tìm x, biết : a ) x ( x 1) ( x 2) ( x 30) 1240 18 b)5 x.5 x 1.5 x 2 10000 000 :2 18 chu so 11 10 1010 A 12 ; B 11 10 10 So sánh A B 2) Cho Câu (4,0 điểm) Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng qua điểm a) Biết số giao điểm đường thẳng 1128 Tính n b) Số giao điểm đường thẳng 2021 khơng ? Vì ? Câu (4,0 điểm) 1 a) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho a b c 1 1 A A 2 100 Chứng minh b) Cho ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a ) A 53.81 47.14 81.47 14.53 81 53 47 14 47 53 81.100 14.100 6700 b) B 2100 550 2100 11 550 2100 550 2100 550 11 10 100 50 100 50 (vì 0;5 0; 11 2 2 1 1 c )C 1.4 4.7 7.10 97.100 4 97 100 1 33 100 50 d ) D 1 1 1.3 2.4 3.5 2019.2021 2.3.4 2020 2.3.4 2020 4040 22 32 20202 1.3 2.4 2019.2021 1.2.3 2019 3.4.5 2021 2021 Câu (4,0 điểm) c) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN a, b 300;UCLN a, b 15 a 15 b Vì UCLN a, b 15 nên tồn số tự nhiên m, n khác 0, cho : a 15m, b 15n 1 UCLN m, n 1 Vì BCNN a, b 300 nên theo ta suy BCNN 15m,15n 300 15.20 BCNN ( m, n) 20 Vì a 15 b 15m 15 15n 15 m 1 15n m n Trong trường hợp thỏa mãn (2), (3) có trường hợp m=4, n=5 thỏa mãn điều kiện (4) Vậy với m 4, n 5 ta số phải tìm a 15.4 60, b 15.5 75 d) Cho x,y số nguyên Chứng minh : Nếu x y 37 13x 18 y 37 Ta có : 13x 18 y x y 65 x 90 y 28 x 16 y 37 x 74 y 37 x y 37 13x 18 y x y 37 * Do x y 37 x y 37 Do từ (*) suy 13x 18 y 37 mà 5,37 1 13 x 18 y 37 Câu (4,0 điểm) 3) Tìm x, biết : a ) x ( x 1) ( x 2) ( x 30) 1240 ( x x x) (1 30) 1240 31x 1240 31.15 x 25 18 x x 1 x b)5 x.5 x 1.5 x 2 10000 000 1018 : 218 :2 18 chu so x 3 5 18 5 3x 18 x 5 1011 1010 A 12 ; B 11 10 10 So sánh A B 4) Cho 11 12 10 10 10 1012 9 A 12 10 A 12 1 12 12 10 10 10 10 10 11 11 10 10 10 10 9 B 11 10 B 11 1 11 11 10 10 10 1 10 9 Do 11 12 BA 10 10 Câu (4,0 điểm) Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm c) Biết số giao điểm đường thẳng 1128 Tính n Với n đường thẳng có hai đường thẳng cắt nhau, ba dường thẳng đồng quy Số giao điểm xác định sau : Chọn đường thẳng, đường thẳng cắt n đường thẳng lại tạo n – giao điểm, làm với n đường thẳng ta n n 1 giao điểm Nhưng giao điểm tính hai lần, nên số giao điểm n n 1 : giao điểm Khi số giao điểm 1128 , ta có : n n 1 : 1128 n 48 d) Số giao điểm đường thẳng 2021 khơng ? Vì ? Giả sử số giao điểm 2021, áp dụng kết câu a ta có : n n 1 : 2021 n n 1 4042 Ta có 63.64 4032 4042 n n 1 4160 64.65 nên không tồn n thỏa mãn đề Câu (4,0 điểm) 1 c) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho a b c 15 a mà a Không làm tính tổng quát, ta giả sử a b c Khi ta có a a 1 a 2 a 3 nguyên dương nên a 2 1 1 0 a 3 Nếu a 1(ktm) b c mà theo đề b c b 4 c 20 1 3 20 )a 2 b b 5 c 10 b c 10 b 10 15 b 6 c (ktm) a, b, c 2; 4; 20 , 2;5;10 Vậy số 15 b 3 c (ktm) 1 7 30 )a 3 b 60 b c 15 b 15 b 4 c (ktm) 13 2, 4, 20 , 2,5,10 Vậy có 12 số thỏa mãn hốn vị hai số d) Cho A 1 1 A 2 100 Chứng minh 1 1 1 1 2 2 100 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 A A A A 2 99 100 2 100 2 A