ĐỀ HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ SẦM SƠN MƠN TỐN Câu (4,0 điểm) Thực phép tính : a ) A 3 52 23 :11 16 2021 5 10 10 b) B : : 11 11 c )C 899 2 30 Câu (4,0 điểm) 1) Tìm x biết : a ) x 4.52 103 b) x 1 x 400 x 200 5 10 1000 y 2) Tìm số nguyên x, y cho x Câu (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho p 2; p 6; p 8; p 14 số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n 3n số phương 12 3x 1a96 c) Tìm chữ số a số nguyên x , cho Câu (6,0 điểm) Cho góc xBy 55 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C A B, C B Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho ABD 30 a) Tính độ dài AC , biết AD 4cm, CD 3cm b) Tính số đo góc DBC c) Từ B vẽ tia Bz cho DBz 90 Tính số đo ABz Câu (2,0 điểm) 1 1 60 a) Chứng minh 31 32 33 3 a 2 b c a , b , c a b c abc b) Tìm số nguyên dương biết ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Thực phép tính : a ) A 3 52 23 :11 16 2021 3. 5. 33 :11 16 2021 3 5.3 16 2021 3.( 1) 2021 2018 5 10 10 b) B : : 11 11 5 10 : 11 11 10 11 11 3 1 1 0 10 899 1.3 2.4 29.31 2 30 2.2 3.3 30.30 1.2.3 29 3.4 31 31 31 2.3.4 30 2.3.4 30 30 60 c )C Câu (4,0 điểm) 3) Tìm x biết : a ) x 4.52 103 x 3 x 3 x 100 103 x 3 x x 0 b) x 1 x 400 x 200 5 10 1000 x 1 x 1 200 x 1 5.1 5.2 5.200 x 1 200 5 100 x 5 y x , y 4) Tìm số nguyên cho x y x y 30 x Vì y số lẻ nên y 5; 3; 1; 15;1;3;5;15 x 3 x 6 1 y y 3 Vậy 10 3 2 30 1 1 10 30 15 2 15 8 x; y 6; 3 ; 10; ; 30; 1 ; 6; ; 10;1 ; 30; ; 2;7 ; 2; Câu (4,0 điểm) d) Tìm số nguyên tố p cho p 2; p 6; p 8; p 14 số nguyên tố Với p 2 p 4 hợp số (loại) Với p 3 p 9 hợp số (loại) p 7 p 11 p 13 Với p 5 p 14 19 số nguyên tố (nhận) p 14 5k 15 5 k Với p 5k hợp số (loại) p 5k 10 5 k Với p 5k hợp số (loại) p 5k 5 k 1 Với p 5k hợp số (loại) p 5k 10 5 k Với p 5k hợp số (loại) Vậy p 5 e) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n 3n số phương Vì n số tự nhiên có chữ số nên n 100 19 2n 201 Mà 2n số phương số lẻ 2n 25 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n 37 73 121 181 253 Vì 3n số phương nên nhận 3n 121 Vậy n 40 2n 3n số phương 12 3x 1a96 f) Tìm chữ số a số nguyên x , cho Ta có : 12 3x 2 1a96 x 1096 100a 1096 100a 7a 2 x 1096 100a x x 121 11a 9 Vì x nên Suy x a 9 7a 121 11a x 12 a 2 x 144 x 12 x 8 x 16 x 8 Vậy a=2 x 16 Câu (6,0 điểm) Cho góc xBy 55 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C A B, C B Trên đoạn thẳng A AC lấy điểm D cho ABD 30 x z D B C y d) Tính độ dài AC , biết AD 4cm, CD 3cm Ta có D AC điểm D nằm hai điểm A C AD DC AC AC 4 7(cm) e) Tính số đo góc DBC Ta có ABC ABD 55 30 nên tia BD nằm hai tia BA BC ABD DBC ABC DBC ABC ABD DBC 55 30 25 f) Từ B vẽ tia Bz cho DBz 90 Tính số đo ABz Ta có DBz DBA 90 30 Tia BA nằm hai tia BD Bz ABz DBA DBz ABz DBz DBA DBC 90 30 60 Câu (2,0 điểm) 1 1 60 c) Chứng minh 31 32 33 1 1 S 31 32 33 60 Ta có : Đặt 1 1 1 S 40 41 42 50 51 52 60 31 32 1 1 1 S 40 50 50 50 60 60 60 40 40 1 37 36 S 60 60 1 1 1 S 30 40 40 40 50 50 50 30 30 1 47 48 S 60 60 S Vậy 3 a 2 b c d) Tìm số nguyên dương a, b, c biết a b c 3abc Ta có a, b, c số nguyên dương nên 3abc a b3 c a b3 a b ; a c a c 2a b c 4a b c Mà a 2 b c 4a a a Mặt khác a 2 b c a số chẵn nên a số chẵn a 2 Ta có b 2, c mà b,c số nguyên dương nên b 1, c 1 Vậy a 2, b 1, c 1