076 đề hsg toán 8 nam từ liêm 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TỪ LIÊM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM 2022 2023 Bài 1 (6,0 điiểm) 1) Giải phương trình sau trên tập số thực 2) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn đồng thời các[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TỪ LIÊM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM 2022-2023 Bài (6,0 điiểm) x  x 1 x  2 72    1) Giải phương trình sau tập số thực  2) Cho x, y số thực khác thỏa mãn đồng thời điều kiện x3 y 1 E 6 2; y  3 y x x y 1 Tính giá trị biểu thức 2 3) Cho số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  7a  2b  0 Chứng minh x a số phương Bài (4,0 điểm) 1) Cho số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab  chia hết cho a  b & ab  chia hết cho a  b Chứng minh a, b nguyên tố  b  1 2 chia hết cho a  b 2) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a1 ; a2 ; ; a2019 lớn Chứng minh a tích  2  1  a22  1  a2019  1 a a .a2019  khơng chia hết cho tích  2 Bài (3,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 1 a 1 b 1 c 1   9 Chứng minh a  bc b  ca c  ab Đẳng thức xảy ? Bài (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Bx  AB B Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B) Kẻ BH  AC , điểm H thuộc AC Gọi M trung điểm AB 1) Chứng minh HA.HC HB 2) Kẻ HD vng góc với BC (D thuộc BC) Gọi I giao điểm AD BH Chứng minh điểm C, I, M thẳng hàng 3) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi Bx Tìm vị trí điểm C tia Bx Sao cho diện tích ABI lớn Bài (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn 1, không vượt 2019 đôi nguyên tố Chứng minh 15 số ln có số số nguyên tố ĐÁP ÁN Bài (6,0 điiểm) x  3  x  1  x   72 4) Giải phương trình sau tập số thực  x  3  x  1  x   72 Ta có :  x 2  x  3  x  x   72   x  x    x  x   60 0  x  x 5    x  x  12   x 1  x  x  0    x    x  x  12 0(VN )  5) Cho x, y số thực khác thỏa mãn đồng thời điều kiện x3 y 1 E 6 2; y  3 y x x y 1 Tính giá trị biểu thức   y x  x  y 2    xy 2  xy   y y  x           xy  3 x  xy   y 0  xy 2   y  3   x   3x 0      x x Ta có :     26 15  E     1    3 1 ; E2     26  15     1    6 1 2 6) Cho số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  7a  2b  0 Chứng minh a số phương Ta có : 2 a  b  2ab  a  2b  0   a  b  1  9a 0   a  b  1 9a  a  b 1   a     Vậy a số phương Bài (4,0 điểm) 3) Cho số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab  chia hết cho a  b & ab  chia hết cho a  b Chứng minh a, b nguyên tố  b  1 Ta có : 2 chia hết cho a  b ab  1a  b Ma` ab  b  a  b  b  a  b   ab  b   ab  1 a  b ab  1a  b  2    ab  1   ab  b  a  b  b  1a  b ab  b b  a  b  a  b  ab  1 a  b  d  a d  d UCLN  a; b     a  b d    1d  d 1 b d  ab d  Gọi  b  1a  b  Vậy (a;b) nguyên tố k UCLN (a  b; a  b)  a  bk    a  b  a  b k  2a k a  bk  Gọi Mà 2a  2b k  26k , mà a, b nguyên tố nên 2k b  1a  b    K  b  1  a  b   a  b  Mà b  1a  b  UCLN  a  b; a  b  k  k  b  1 a  b , ma ` k   b  1  b  1 a  b Vậy 4) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a1 ; a2 ; ; a2019 lớn Chứng minh a tích  2  1  a22  1  a2019  1 a a .a2019  khơng chia hết cho tích  2 Ta có : a A  1  a22  1  a2019  1  a a .a  Xét A1  2019  a2019 1 a12  a22   A1 A2 A2019 2 a1 a2 a2019 a12  1 1   Z a1 a1 a1  1.Cmtt A2  A2019  Z Mà a1 ; a2 ; a2019 số dương phân biệt lớn nên A1  A2   A2019  A  A1 A2 A2019 tích phần tử khác nhua phần tử không nguyên nên A không nguyên  a 2  1  a22  1  a2019  1 a a .a2019  không chia hết cho tích  2 Bài (3,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 1 a 1 b 1 c 1   9 Chứng minh a  bc b  ca c  ab Đẳng thức xảy ? Ta có : 1 a a  b  c  a 2a  b  c 2a  b  c    a  bc a  bc a  a  b  c   bc a  ab  bc  ca  ( a  b)  ( a  c ) 1   (a  b)(a  c ) a b a c 1 b 1 1 c 1   ;   Tương tự : b  ca b  c a  b c  ab b  c c  a 1  9  VT :     9  2 a b b c c a a b c  a b b c c a  a b c  Dấu xảu Bài (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Bx  AB B Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B) Kẻ BH  AC , điểm H thuộc AC Gọi M trung điểm AB C H D I B M A 4) Chứng minh HA.HC HB Xét HAB HBC có : H 90 ; HAB HAC (cùng phụ với góc ABH) HAB ∽ HBC  HA HB   HB HA.HC HB HC Do 5) Kẻ HD vng góc với BC (D thuộc BC) Gọi I giao điểm AD BH Chứng minh điểm C, I, M thẳng hàng Ta có I1  I  I  180  A1  M    180  A2  H    180  H  C1  540   A1  A2   2H   C1  M  360  A   C1  M  3600  A   180  A  180 Vậy điểm I, M, C thẳng hàng 6) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi Bx Tìm vị trí điểm C tia Bx Sao cho diện tích ABI lớn Để diện tích AIB lớn diện tích ABH lớn 1 S ABH S ABC  S BHC  AB.BC  HC HB  S AIB 2 lớn AB=AC Vậy C thuộc BC cho AB BC (dfcm) Bài (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn 1, không vượt 2019 đôi nguyên tố Chứng minh 15 số ln có số số ngun tố Giả sử n1 ; n2 ; n15 số nguyên lớn hợp số Gọi pi ước nguyên tố nhỏ ni (i=1;2;….15) Gọi p số lớn số p1 ; p2 ; ; p15 Do số n1 ; n2 ; n15 đôi nguyên tố nên số p1 ; p2 ; ; p15 khác tất Số nguyên tố thứ 15 số 47 ( 2,3,5, , 47) ta có p 47 2 Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ p thi p  n  n  p 47  2019 (vơ lý) Vậy 15 số ln có số số ngun tố ... I1  I  I  180   A1  M    180   A2  H    180   H  C1  540   A1  A2   2H   C1  M  360  A   C1  M  3600  A   180   A   180  Vậy điểm I, M,... minh a tích  2  1  a22  1  a2019  1 a a .a2019  không chia hết cho tích  2 Ta có : a A  1  a22  1  a2019  1  a a .a  Xét A1  2019  a2019 1 a12  a22   A1 A2 A2019...  A  A1 A2 A2019 tích phần tử khác nhua phần tử không nguyên nên A không nguyên  a 2  1  a22  1  a2019  1 a a .a2019  không chia hết cho tích  2 Bài (3,0 điểm) Cho số thực dương