187 đề hsg toán 8 tp bắc ninh 22 23

111Equation Chapter Section 1UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC 1  x  x P    : 2   x 1  x  x  x  Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Với x  , tìm giá trị nhỏ P Câu (4,0 điểm) 1 1 ;    2021 2021 a b c Tính giá trị biểu 1   A a 2021  b 2021  c 2021  2021  2021  2021  b c  a thức 1) Cho số a, b, c khác ; 2) x Giải phương trình :  a  b c   1  x  x  1  x 0 Câu (4,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn đồng thời diều kiện : a  b số nguyên chẵn 2 2 4a  3ab  11b chia hết cho Chứng minh a  b chia hết cho 20 2) Cho đa thức f  x  x  Giả sử đa thức P  x  x  ax  b có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Tìm giá trị nhỏ A  f  x1  f  x2  f  x3  f  x4  f  x5  x  1  y  z 0 3) Tìm số tự nhiên x, y , z khác thỏa mãn  x  y  z  số nguyên tố Câu 4.(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, lấy M đoạn OC, không trùng O Gọi S điểm đối xứng với B qua M, đường thẳng BS cắt CD L Gọi E giao điểm DM với BC, F giao điểm AE CD, G giao điểm DE BF Gọi I K theo thứ tự giao điểm AB CG DG Chứng minh a) b) c) d) SL DS  BL BD IE song song với BD AE vng góc với CG DL.BS BD.DS Câu (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương a1 ; a2 ; ; a19 b1 ; b2 ; .; b21 thỏa mãn điều kiện sau : a1  a2   a19 200, b1  b2   b21 200 Chứng minh tồn bốn số ; a j ; bk ; b p  i, j 19;1 k , p 21 cho  a j , bk  b p a j  bp  bk ĐÁP ÁN 1  x  x P    : 2  x  1  x  x x 1   Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện xác định rút gọn P ĐK : x 1; x 2 1  x  x   x     x  1 x2   x P    :    x2 x  x 1  x  x  x   x2 x2  x2    x2 x  x  x2 P x Vậy d) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Với x  , tìm giá trị nhỏ P x2 P x   x x Vì x nguyên nên để P nguyên  x   U    1; 2; 4 hay x   1;3;0; 4;  2;6 thỏa x  x  16   x  16  x    x2 P    8 x x x Ta lại có với x  Vậy giá trị nhỏ P x=4 Câu (4,0 điểm) 1 1 ;    2021 2021 a b c Tính giá trị biểu 1   A a 2021  b 2021  c 2021  2021  2021  2021  b c  a thức 3) Cho số a, b, c khác ; a  b c  1 1 1 1 &   2021     2021 a b c a b c a b  c a b a b  c c ac  bc  c  ab   0   a  b  0 ab c  a  b  c  abc  a  b  c  a b  c   a  b 0   a  b   b  c   a  c  0   b  c 0  A 1  a  c 0 4) x x Giải phương trình :  2  1  x  x  1  x 0 2  1  x  x  1  x 0    x  1  x  x  1    x  x  1  x  0     x  1  x   x   x  x   x  0   x  x  1  x  x  1 0   x  1 0(do x  x   0)  x  Câu (4,0 điểm) 4) Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn đồng thời diều kiện : a  b số nguyên 2 2 chẵn 4a  3ab  11b chia hết cho Chứng minh a  b chia hết cho 20 a  b 4  1 Vì a-b số chẵn nên a  b chẵn , suy 2 2  5a  5ab  10b    4a  3ab  11b  5 Vì 4a  3ab  11b 5 5a  5ab  10b 5  a  b  5   a  b  5  a  b 5   Hay   4;5 1 nên từ (1) (2) suy a  b 20 f x x  P x x  ax  b 5) Cho đa thức   Giả sử đa thức   có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Tìm giá trị nhỏ A  f  x1  f  x2  f  x3  f  x4  f  x5  P x x  ax  b Vì đa thức   có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 nên : P  x   x  x1   x  x2   x  x3   x  x4   x  x5  f x x   x    x   A  f  x1  f  x2  f  x3  f  x4  f  x5  Ta có   nên  x1    x1    x2    x2    x3    x3    x4    x4    x5    x5     x1    x2    x3    x4    x5    x1    x2    x3    x4    x5  P   P( 2)  32  4a  b    32  4a  b   4a  b   1024  1024  A  f  x1  f  x2  f  x3  f  x4  f  x5   1024 Min A  1024  4a  b 0 x  1  y  z 0  x , y , z 6) Tìm số tự nhiên khác thỏa mãn x  y  z  Do số nguyên tố  x  1  x  1 3  y  z 0  *   x  1  y  z 3z 3  1 Ta có :  y  z   x  y  z  1   x  1   x  1    y  y    z  z  3     Từ (1) (2) suy x  y  z  13 mà x  y  z  số nguyên tố nên x  y  z  3  x  y  z 4 Th1: x 2; y z 1 (tm(*)) Th : x  y 1; z 2(ktm(*)) Th3 : x  z 1; y 2(ktm(*)) Vậy x 2; y z 1 Câu 4.(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, lấy M đoạn OC, không trùng O Gọi S điểm đối xứng với B qua M, đường thẳng BS cắt CD L Gọi E giao điểm DM với BC, F giao điểm AE CD, G giao điểm DE BF Gọi I K theo thứ tự giao điểm AB CG DG Chứng minh I B A O M D L H S E C K G F SL DS  e) BL BD Do O trung điểm BD, M trung điểm SB nên OM đường trung bình tam giác BDS  OM / / DS Mà OM  BD  DS  BD  BDS vuông D SL DS  BDL   BDL 45 BL BD Mà nên DL phân giác f) IE song song với BD IK KE  Ta chứng minh IB ED Do BK//DF nên theo định lý Talet ta có : IK IG IB IK CD     1 CD GC CF suy BF CF KE BE AB    2 Cũng theo định lý Talet với AK / / DF , ta có : ED EC CF IK KE AB CD   1 ,     IB ED Ta lại có Theo định lý Talet đảo ta có IE // BD g) AE vng góc với CG Ta có BD  AC , IE / / BD  IE  AC Tam giác ACI có CB  AI , IE  AC nên E trực tâm tam giác ACI Suy AE  CG h) DL.BS BD.DS Kẻ DH  BS H Ta có 2.S BDS BD.DS BS DH  1 BS DL BS DH   Lại có DL DH (quan hệ đường xiên, đường vng góc) nên Từ (1) (2) suy DL.BS BD.DS Dấu xảy M trùng C Câu (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương a1 ; a2 ; ; a19 b1 ; b2 ; .; b21 thỏa mãn điều kiện sau : a1  a2   a19 200, b1  b2   b21 200 Chứng minh tồn bốn số ; a j ; bk ; b p  i, j 19;1 k , p 21 cho  a j , bk  bp a j  bp  bk m   1; 2; ;19 n   1; 2; ; 21 Xét tổng có dạng : am  bn với và Ta thấy có 19.21 399 tổng tổng nhận giá trị nguyên từ đến 400 (có 399 giá trị) Th1: Trong 399 tổng khơng có tổng 399 tổng nhận đủ giá trị từ đến 400 Suy tổng nhỏ tổng lớn 400 a b 200  a19  a1 b21  b1  1 Khi a1  b1 2 a19  b21 400  a1 b1 1 19 21 a b Th2: tổng có tổng , giả sử  bk i p a j  bk ai  bp  a j  bp  bk   Từ (1) (2) ta có đpcm