111Equation Chapter Section 1UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC 1 x x P : 2 x 1 x x x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Với x , tìm giá trị nhỏ P Câu (4,0 điểm) 1 1 ; 2021 2021 a b c Tính giá trị biểu 1 A a 2021 b 2021 c 2021 2021 2021 2021 b c a thức 1) Cho số a, b, c khác ; 2) x Giải phương trình : a b c 1 x x 1 x 0 Câu (4,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn đồng thời diều kiện : a b số nguyên chẵn 2 2 4a 3ab 11b chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho 20 2) Cho đa thức f x x Giả sử đa thức P x x ax b có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Tìm giá trị nhỏ A f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 x 1 y z 0 3) Tìm số tự nhiên x, y , z khác thỏa mãn x y z số nguyên tố Câu 4.(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, lấy M đoạn OC, không trùng O Gọi S điểm đối xứng với B qua M, đường thẳng BS cắt CD L Gọi E giao điểm DM với BC, F giao điểm AE CD, G giao điểm DE BF Gọi I K theo thứ tự giao điểm AB CG DG Chứng minh a) b) c) d) SL DS BL BD IE song song với BD AE vng góc với CG DL.BS BD.DS Câu (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương a1 ; a2 ; ; a19 b1 ; b2 ; .; b21 thỏa mãn điều kiện sau : a1 a2 a19 200, b1 b2 b21 200 Chứng minh tồn bốn số ; a j ; bk ; b p i, j 19;1 k , p 21 cho a j , bk b p a j bp bk ĐÁP ÁN 1 x x P : 2 x 1 x x x 1 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện xác định rút gọn P ĐK : x 1; x 2 1 x x x x 1 x2 x P : x2 x x 1 x x x x2 x2 x2 x2 x x x2 P x Vậy d) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Với x , tìm giá trị nhỏ P x2 P x x x Vì x nguyên nên để P nguyên x U 1; 2; 4 hay x 1;3;0; 4; 2;6 thỏa x x 16 x 16 x x2 P 8 x x x Ta lại có với x Vậy giá trị nhỏ P x=4 Câu (4,0 điểm) 1 1 ; 2021 2021 a b c Tính giá trị biểu 1 A a 2021 b 2021 c 2021 2021 2021 2021 b c a thức 3) Cho số a, b, c khác ; a b c 1 1 1 1 & 2021 2021 a b c a b c a b c a b a b c c ac bc c ab 0 a b 0 ab c a b c abc a b c a b c a b 0 a b b c a c 0 b c 0 A 1 a c 0 4) x x Giải phương trình : 2 1 x x 1 x 0 2 1 x x 1 x 0 x 1 x x 1 x x 1 x 0 x 1 x x x x x 0 x x 1 x x 1 0 x 1 0(do x x 0) x Câu (4,0 điểm) 4) Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn đồng thời diều kiện : a b số nguyên 2 2 chẵn 4a 3ab 11b chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho 20 a b 4 1 Vì a-b số chẵn nên a b chẵn , suy 2 2 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5 Vì 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 5 a b 5 a b 5 a b 5 Hay 4;5 1 nên từ (1) (2) suy a b 20 f x x P x x ax b 5) Cho đa thức Giả sử đa thức có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Tìm giá trị nhỏ A f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 P x x ax b Vì đa thức có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 nên : P x x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 f x x x x A f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 Ta có nên x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x5 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 P P( 2) 32 4a b 32 4a b 4a b 1024 1024 A f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 1024 Min A 1024 4a b 0 x 1 y z 0 x , y , z 6) Tìm số tự nhiên khác thỏa mãn x y z Do số nguyên tố x 1 x 1 3 y z 0 * x 1 y z 3z 3 1 Ta có : y z x y z 1 x 1 x 1 y y z z 3 Từ (1) (2) suy x y z 13 mà x y z số nguyên tố nên x y z 3 x y z 4 Th1: x 2; y z 1 (tm(*)) Th : x y 1; z 2(ktm(*)) Th3 : x z 1; y 2(ktm(*)) Vậy x 2; y z 1 Câu 4.(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, lấy M đoạn OC, không trùng O Gọi S điểm đối xứng với B qua M, đường thẳng BS cắt CD L Gọi E giao điểm DM với BC, F giao điểm AE CD, G giao điểm DE BF Gọi I K theo thứ tự giao điểm AB CG DG Chứng minh I B A O M D L H S E C K G F SL DS e) BL BD Do O trung điểm BD, M trung điểm SB nên OM đường trung bình tam giác BDS OM / / DS Mà OM BD DS BD BDS vuông D SL DS BDL BDL 45 BL BD Mà nên DL phân giác f) IE song song với BD IK KE Ta chứng minh IB ED Do BK//DF nên theo định lý Talet ta có : IK IG IB IK CD 1 CD GC CF suy BF CF KE BE AB 2 Cũng theo định lý Talet với AK / / DF , ta có : ED EC CF IK KE AB CD 1 , IB ED Ta lại có Theo định lý Talet đảo ta có IE // BD g) AE vng góc với CG Ta có BD AC , IE / / BD IE AC Tam giác ACI có CB AI , IE AC nên E trực tâm tam giác ACI Suy AE CG h) DL.BS BD.DS Kẻ DH BS H Ta có 2.S BDS BD.DS BS DH 1 BS DL BS DH Lại có DL DH (quan hệ đường xiên, đường vng góc) nên Từ (1) (2) suy DL.BS BD.DS Dấu xảy M trùng C Câu (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương a1 ; a2 ; ; a19 b1 ; b2 ; .; b21 thỏa mãn điều kiện sau : a1 a2 a19 200, b1 b2 b21 200 Chứng minh tồn bốn số ; a j ; bk ; b p i, j 19;1 k , p 21 cho a j , bk bp a j bp bk m 1; 2; ;19 n 1; 2; ; 21 Xét tổng có dạng : am bn với và Ta thấy có 19.21 399 tổng tổng nhận giá trị nguyên từ đến 400 (có 399 giá trị) Th1: Trong 399 tổng khơng có tổng 399 tổng nhận đủ giá trị từ đến 400 Suy tổng nhỏ tổng lớn 400 a b 200 a19 a1 b21 b1 1 Khi a1 b1 2 a19 b21 400 a1 b1 1 19 21 a b Th2: tổng có tổng , giả sử bk i p a j bk ai bp a j bp bk Từ (1) (2) ta có đpcm