UBND HUYỆN BÌNH XUN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể gio đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) x2 x 2x2 2 A 1 x x 2x 8 4x 2x x Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: x x 1 x m 2 x m m a) (với m tham số , m 0) 2 1 1 1 8. x 4. x x x 4. x x x x x b) 3 x 3 3x x x 17 x 2016 x 2063 c) Bài (2,0 điểm) B n 36 a) Tìm số tự nhiên n để số nguyên tố b) Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết khơng q chữ số Bài (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF cắt H HD HE HF AD BE CF a) Tính tổng b) Chứng minh: BH BE CH CF BC c) Chứng minh: Điểm H cách ba cạnh tam giác DEF d) Trên đoạn HB, HC lấy tương ứng điểm M , N tùy ý cho HM CN Chứng minh : Đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh: 1 27 a a b b b c c(c a ) 2(a b c ) ĐÁP ÁN Câu 2 x 0 8 x x x 0 x 0 a) ĐKXĐ: x 0 x 2 x 0 x 2 Với thì: x2 x 2 x2 A 1 x 8 x x x x x x( x 2) x2 x 2 x2 2 2( x 4) x2 x x x x x 2 x 1 x x2 2 x2 4 x 2 x 4x 4 4x2 x x 2 x2 4 x2 x x 1 2x 2 x2 4 x Vậy , với x 0 x 2 A x 1 2x x 0 * x 2 b) Xét với Giả sử biểu thức A nhận giá trị nguyên biểu thức 2A nhận giá trị nguyên 2x 2A x 1;1 2x x x 1; x 1 thỏa mãn * Với x A 1 0 2( 1) (thỏa mãn A ) 1 A 2 2.1 x Với (thỏa mãn A ) Vậy để biểu thức A nhận giá trị nguyên x 1;1 Câu x x 1 x m x m 1 x (2a) m m m a) m 2a x m m 1 +) Nếu m m 0 m 0. 2a x m(m 1) +)Nếu m +)Nếu m 1 m 0 2a x luon dung Kết luận: S x / x m(m 1) m m +Với tập nghiệm BPT +Với m 1 tập nghiệm BPT S S x / x m ( m 1) m +Với tập nghiệm BPT là: 2 1 1 x x x x x 2b x x x x b) Điều kiện x 0 , Khi đó: 2 1 1 2b x x x x x x x x x 2 1 1 x x x x x x x x x 1 x x x x x x 0 x 16 x Vì x 0 nên S 8 c) Trước hết chứng minh rằng: 3 Nếu có số a, b, c thỏa mãn a b c 0 a b c 3abc (2c ) Ta có: 3 x 3 3x 5 x x 17 x 2016 x 2063 3 x 3 x x x 17 x 2016 x 2063 Áp dụng đẳng thức (2c) x 3 x x 0 nên phương trình cho tương đương với : x 3 x x x 17 x 2016 x 2063 x x x 15 17 x 2016 x 2063 0 x x 2019 x 2018 0 x x 1 x 2018 0 x x 1 x 2018 2 S ;1;2018 5 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Câu a) Ta có: B n 36 n 16n 64 36 n 20n 100 36n 2 n 10 6n n 6n 10 n2 6n 10 2 Với n n 6n 10 n 6n 10 Nên để B số nguyên tố trước hết n 6n 10 1 n 0 n 3 Hay B 32 36 37 Thử lại , với n 3 37 số nguyên tố nên n 3 giá tị cần tìm b) Ta gọi số thỏa mãn đề số chấp nhận Các chữ số số chấp nhận phải số lẻ, khơng tích chúng chẵn Như có số chấp nhận có chữ số Khơng thể có số chấp nhận gồm chữ số tổng tích chữ số chúng số chẵn Tương tự số chấp nhận khơng thể có chữ số Ta xét số chấp nhận gồm ba chữ số (tổng tích chữ số số chấp nhận gồm ba chữ số phải số lẻ, chúng khơng thể có hai chữ số, nên tổng tích chữ số vượt Như số chấp nhận gồm chữ số có thể: Hoặc gồm chữ số 1, Hoặc gồm hai chữ số 1, số lại chữ số 3,5,7 Hoặc gồm chữ số chữ số Do có 13 số chấp nhận có chữ số Tương tự , ta tính số chấp nhận gồm chữ số Tổng chữ số không vượt 45 số chấp nhận nên tích khơng vượt q 9, khả xảy : Hoặc gồm chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm ba chữ số hai chữ số Do số số chấp nhận gồm chữ số: 10 21 số Vậy số số thỏa mãn đề là: 13 21 39 số Câu A E F H B P M Q N D C K HD S HBC AD S ABC a) Trước hết chứng minh : HE S HCA HF S HAB ; BE S CF S ABC ABC Tương tự có: HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S S ABC ABC Nên HD HE HF 1 AD BE CF Vậy b) Trước hết chứng minh: BDH BEC BH BE BD.BC Và CDH CFB CH CF CD.BC BH BE CH CF BC BD CD BC AE AF AB AC c) Trước hết chứng minh Mặt khác EAF BAC Nên AEF ABC (c.g.c) AEF ABC AEB AFC Chứng minh tương tự, ta có: CDE CAB CED CBA AEF CED mà EB AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF , DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF d) Gọi K giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, ta có KMH KNC c.c.c KHM KCN (1) (2) Mặt khác ta có: KCH cân K nên : KHC KCH Từ (1) (2) ta có: KHC KHB HK phân giác góc BHC Vậy K giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên K điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định K Câu Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 a(a b) b(b c) c(c a) abc a b b c c a (*) Cũng theo BĐT Cô si : 33 abc a b c 1 33. a b b c c a 8 a b c Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc a b b c c a 8 a b c Hay 27 ** abc(a b)(b c )(c a ) a b c (2) Từ * ** suy 1 27 a (a b) b(b c) c(c a ) a b c Dấu " " xảy a b c