PHỊNG GD & ĐT BÌNH XUN TRƯỜNG THCS HƯƠNG CANH ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Năm học : 2017-2018 Câu Giải phương trình sau: a)2 x x3 22 x 15 x 36 0 x x 42 x 121 b) 3 2009 1969 1890 Câu 3 x , y x y x y y 7x Tìm tất số nguyên thỏa mãn Câu x2 8x P x2 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 4 3 b) Cho a b c 3 Chứng minh rằng: a b c a b c Câu Cho tam giác ABC cân A, có BC a khơng đổi Gọi I trung điểm BC Lấy P AB Q AC cho PIQ ABC Vẽ IK AC K AC a) Chứng minh tích BP.CQ khơng đổi b) Chứng minh PI tia phân giác góc BPQ , QI tia phân giác PQC c) Gọi chu vi tam giác APQ b, chứng minh b 2 AK Tính b theo a BAC 60 Câu 21 24 a) Chứng minh chia hết cho 1930 b) Cho a, b, c số thỏa mãn a b c ab bc ca abc Chứng minh 2009 2009 2009 a b c rằng: a b c 2009 ĐÁP ÁN Câu PT x 3 x x x 12 0 a) x 3 x x x 3 0 Do x x với x nên phương trình có tập nghiệm S 3; 4 x x 42 x 121 PT 1 1 0 2009 1969 1890 b) x 2011 x 2011 x 2011 0 2009 1969 1890 x 2011 0 x 2011 Câu PT x y x xy y 7 x y x y x xy y 0 x xy y 0(Vi x y ) x y 7 xy 0 xy 2 Vì x y nên xy 2 , x 2; y 1 Câu a) x2 8x x2 8x x2 x P Pmin x 2 x2 x2 x 1 2 x 1 x x x 8x 8x 1 P P x max x2 x2 x2 1 b) a 1 Ta có: a a 1 0 a a a 0 Tương tự có: b b3 b 0 c c3 c 0 (3) 1 Cộng 1 ; ; 3 ta được: a a3 a b4 b3 b c c c 0 a b c a b3 c a b c 0 a b c a b3 c 0 a b c a b3 c ( Dfcm ) Câu A P M 2 N B I Q K C a) Theo tính chất góc ngồi tam giác PIC B P1 Mặt khác , PIC PIQ QIC B QIC Suy P1 QIC BPI CIQ BP CI a2 BP.CQ BI CI BI CQ không đổi BPI CIQ b) Từ PI BP PI BP P BPI IPQ P QI CI QI BI Do PI tia phân giác BPQ Chứng minh tương tự , có QI tia phân giác PQC c) Kẻ IM PQ M PQ , IN AB N AB Vì PI , QI , AI tia phân giác ABC cân A nên suy IM IN IK , AN AK , PM PN , QK QM Có b AP PQ AQ AP PM QM AQ AP PN AQ QK AN AK 2 AK CI a CK BAC 600 Nếu AB BC CA a a 3a b 2 AK 2. AC CK 2. a (đơn vị dài) Suy Câu a , b , c 1 Ta có: a) Đặt 3 321 224 68 37 28 1 3.37. 28 1 a b3 c3 3abc a b c a b c ab bc ca Mà a b c 37 28 1 1930 nên suy đpcm b) Ta có: a b c ab bc ca abc a b b c c a nên từ đề suy a b b c c a 0 2009 b 2009 , Khơng tính tổng qt , giả sử a b 0 a b , suy a 2009 2009 2009 c 2009 a b c đó: a b c 2009