UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN – LỚP Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 1 x 2) Biết 4a b 5ab với 2a b Tính giá trị biểu thức Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x x x 2 C ab 4a b 2 9x x 8 x2 x x2 x Câu (2,0 điểm) 2 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy x y y 10 2) 2) Cho đa thức f ( x) x x x Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f ( x ) chia hết cho giá trị đa thức x Câu (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C(khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB AC.BD 2) Kẻ OM vuông góc với CD M Chứng minh AC CM 3) Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 1 16 x y z ĐÁP ÁN Câu 1) x x 1 x x x 1 x 1 x x4 x2 x4 x2 2 x4 x2 2 x4 x2 x x 1 2) 4a b 5ab a b 4a b a b a b 4a b a 4b Do 2a b nên 4a b loại ab a2 C 2 4a b 4a a Với a b Câu 1) 2 *Với x ta có phương trình: x 3x x x x x 1(tm) *Với x ta có phương trình: x (ktm) x 3x x x x x (tm) Vậy nghiệm phương trình x 2) Xét x nghiệm Xét x 9x x 8 2x x 2x x 8 3 2x 2x 1 x x 2x t x Đặt ta có phương trình: 8 t 1 t 1 ĐKXĐ: x 1 PT 8t 8t 2t 1 t 2 1 95 2x 4x2 x 2x PTVN x 16 Câu Ta có: x xy x y y 10 x xy 28 x 28 y y 40 x y y * 2x y 7 Ta thấy: nên y 0;1 y 0;1; 1 y2 y2 y nguyên nên * x 2; 5 Với y thay vào ta x tìm * Với y thay vào ta có : x khơng tìm x ngun Với y 1 thay vào * ta có: x khơng tìm x ngun Vậy x; y nguyên tìm 2;0 ; 5;0 2 Chia f ( x) cho x thương x dư x 2 Để f ( x) chia hết cho x x chia hết cho x x 2 x 2 chia hết cho x x chia hết cho x x chia hết cho x 2 chia hết cho x mà x x 3;6 x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1; x 2 thỏa mãn Vậy với x 1; x 2 f ( x ) chia hết cho x Câu Chứng minh OAC : DBO OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AB AC.BD AC.BD( dfcm) 2 OC AC OAC : DBO g.g OD OD Theo câu a ta có: OC AC OC OD OA OB OD OA AC OA Mà · · Chứng minh OCD : ACO c.g c OCD ACO Chứng minh OAC OMC (ch gn) AC MC dfcm Ta có: OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA OM OB AMB vuông M OC / / BM (vì vng góc với AM ) hay OC//BI Chứng minh C trung điểm AI MK BK KH BC AC Do MH / / AI theo hệ định lý Ta let ta có: IC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Câu 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x y 2x 16 x y Theo BĐT cô si ta có: z x z y z x; 1 z 2y 4y z Tương tự 16 x z 49 P x ; y ;z 16 Dấu xảy 7 ... 2) Xét x nghiệm Xét x 9x x ? ?8 2x x 2x x ? ?8 3 2x 2x 1 x x 2x t x Đặt ta có phương trình: ? ?8 t 1 t 1 ĐKXĐ: x 1 PT 8t 8t 2t 1 t 2 1 95... x 2x PTVN x 16 Câu Ta có: x xy x y y 10 x xy 28 x 28 y y 40 x y y * 2x y 7 Ta thấy: nên y 0;1 y 0;1;