UBND THỊ XÃ KINH MÔN PHÒNG GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI SỐ 42 ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (2,0 điểm) 1 Phân tích đa thức thành nhân t[.]
UBND THỊ XÃ KINH MƠN PHỊNG GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI SỐ 42 Bài 1: (2,0 điểm) ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC: 2022-2023 MÔN: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Phân tích đa thức x x thành nhân tử x 2x 1 x2 Q : x x x x x x x với Cho biểu thức x 0, x 1, x 2, x 0,5 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên Bài 2: (2,0 điểm) 5x x2 x 5 x 6 x 1 Giải phương trình: x 2 Xác định số a, b biết đa thức 2x ax b chia cho x dư chia cho x dư 21 Bài 3: (2,0 điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy x y 0 Cho n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương Chứng minh 8n hợp số Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Từ H hạ HM vng góc với EF M HN vng góc với ED N a) Chứng minh BED BCH đồng dạng b) Chứng minh HM HN c) Gọi I , J , Q, K hình chiếu vng góc F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , Q, K thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị A 24 a b c ab bc ca 1962 a b2 c2 nhỏ biểu thức = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC: 2019 – 2020 MƠN: TỐN - LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Phân tích đa thức x x thành nhân tử x x 1 x2 Q : x x x x x x x với Cho biểu thức x 0, x 1, x 2, x 0,5 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên Lời giải Phân tích đa thức Ta có: 2x2 x 2 x x x 2 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x2 Q : x x x x x x x với x 0, x 1, x 2, x 0,5 Biểu thức x 2x 1 x2 Q : x x x x x x x với x 0, x 1, x 2, x 0,5 a) x x 1 x2 Q : x x 1 x x x 2x x x2 2x 1 x : x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x2 x x2 x x x2 x 1 6x x x 2x 1 3(2 x 1) x x 2 x 1 3x x2 b) Ta có Q 3x 3x 6 3 x2 x2 x2 Để Q nhận giá trị nguyên Suy 6 x x U x 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 x 8; 5; 4; 3; 1;0;1; 4 Mà x 0, x 1, x 2, x 0,5 Nên x 8; 5; 4; 3; 1; 4 x 8; 5; 4; 3; 1; 4 Vậy Bài 2: (2,0 điểm) Q nhận giá trị nguyên 5x x2 x 5 x 6 x 1 Giải phương trình: x 2 Xác định số a, b biết đa thức 2x ax b chia cho x dư chia cho x dư 21 Lời giải 5x x2 Giải phương trình: x ĐKXĐ: x 5x x2 x 1 x 5 x 6 x 1 x 5 x 6 x 1 x x x x 1 x 6 x 1 x 1 5x x2 x2 6 x 1 x 1 x x3 x 25 x 6 x 12 x x x 11x 13 x 0 x 1 x x 3 0 x 0 x 1(TM ) x 0 x 2(TM ) x 0 x 3(TM ) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1; 2;3 2 Xác định số a, b biết đa thức 2x ax b chia cho x dư chia cho x dư 21 Đặt f ( x) 2 x ax b f ( 1) f ( x ) chia cho x dư chia cho x dư 21 ta có f (2) 21 1 a 1 b a b a 7 2a b 13 b 2.2 a.2 b 21 Vậy a 7, b đa thức 2x ax b chia cho x dư chia cho x dư 21 Bài 3: (2,0 điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy x y 0 Cho n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương Chứng minh 8n hợp số Lời giải 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy x y 0 2 Ta có x y 3xy x y 0 x x xy y y xy x x x y y y 1 x y 1 x x y y 1 x y x y x y 1 x y U (3) Do x, y nghiệm nguyên nên x y U (3) Ta có bảng sau x y 1 x 2y 3 6 y 3 x; y 6;5 ; 4; 3 ; 8;5 ; 6; 3 x 3 1 8 3 Vậy Cho n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương Chứng minh 8n hợp số 24n 24 3k 1 3 24k + Nếu n 3k , ta có phương Do n 3k loại (1) 2n 2 3k 3 2k 1 + Nếu n 3k , ta có phương Do n 3k loại khơng số khơng số (2) 8n 3 8n 3 Từ (1) (2), suy n 3k , ta có (3) Do n 8n (4) Từ (3) (4) suy 8n hợp số Vậy n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương 8n hợp số Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Từ H hạ HM vng góc với EF M HN vng góc với ED N a) Chứng minh BED BCH đồng dạng b) Chứng minh HM HN c) Gọi I , J , Q, K hình chiếu vng góc F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , Q, K thẳng hàng Lời giải A I F J M E H N Q B K D a) Xét BDH BEC có: B góc chung BDH BEC 90o Do BDH ∽ BEC (th3) BD BH BD BE BE BC BH BC Xét BED BCH có: B góc chung BD BE BH BC (cmt) Do BED ∽ BCH (th2) b) Xét BFH CEH có: BFH BEH 90o BHF CHE (hai góc đối đỉnh) Do BFH ∽ CEH (th2) FH BH FH EH EH CH BH CH +Xét FEH BCH có: FHE BHC (hai góc đối đỉnh) C FH EH BH CH (cmt) Do FEH ∽ BCH (th2) FEH BCH hay MEH BCH (1) Lại có BED ∽ BCH (câu a) BEH CBH hay HEN BCH (2) Từ (1) (2) MEN HEN +Xét MHE NHE có: HME HNE 90o HE: cạnh chung Do c) Do Do MEH NEH (cmt) MHE NHE (c.h-g.n) HM HN FI AC , QE AC FI //BE FJ AD, BC AD FJ //BC AI AF IE FB (3) AF AJ FB JD (4) AI AJ IJ //ED IE JD Từ (3) (4) suy IE FH FI AC , HE AC FI //HE EC HC Do (6) IE FH EC HC (7) Do FI AC , HE AC FI //HE (5) IE KD IK //ED EC KC Từ (6) (7) suy AF KD FK //AD FB BK Do Do FQ EB, AC EB FQ //AC Từ (9) (10) suy (8) (9) AF QE FB BQ (10) QE KD QK //ED BQ BK (11) Từ (5), (8), (11) suy I , J , Q, K thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 24 a b c ab bc ca 1962 a b2 c2 Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có a b c 3 a b c a b c Mặt khác a b c 1 a b c 2ab 2bc 2ca 1 a b2 c ab bc ca Do A 24 a b c ab bc ca 1962 a b2 c2 a b2 c2 5 1962 24 a b c 2 a b c 5 24 a b c 1962 2 2 a b c 24 a b c 1959,5 a b2 c 45 2 2 a b c a b c 1959,5 2 2 a b2 c2 2 45 a b2 c 1959,5 2 2 a b c 15 2 1959,5 2 1975 a b c 2 a b c 45(a b c ) 2 2 a b c Dấu “=” xảy Vậy với a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 1 giá trị nhỏ biểu thức 1975 A 24 a b c = = = = = Hết = = = = = a b c ab bc ca 1962 a b2 c2 ... khơng số khơng số (2) 8n 3 8n 3 Từ (1) (2), suy n 3k , ta có (3) Do n 8n (4) Từ (3) (4) suy 8n hợp số Vậy n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương 8n hợp số Bài 4:... y 3 x; y 6;5 ; 4; 3 ; 8; 5 ; 6; 3 x 3 1 ? ?8 3 Vậy Cho n số tự nhiên lớn thỏa mãn 2n 24n số phương Chứng minh 8n hợp số 24n 24 3k 1 3 24k ... 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 x 8; 5; 4; 3; 1;0;1; 4 Mà x 0, x 1, x 2, x 0,5 Nên x 8; 5; 4; 3; 1; 4 x 8; 5; 4; 3; 1; 4 Vậy Bài 2: (2,0