UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức b) Tìm biết c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân[.]
UBND HUYỆN NGỌC HỒI _PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (6,0 điểm) 1 1 P 1 5 9 13 2015 2019 a) Rút gọn biểu thức 2 b) Tìm x, y, z biết : x y z xy xz yz 10 x y 34 0 c) Tìm giá trị lớn nhỏ phân thức A x 1 x2 Bài (4,0 điểm) 1 1 a) Giải phương trình x x x x 12 x x 20 x 11x 30 15 b) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2019 cho đa thức x 10 x 21 Bài (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có E , F thuộc cạnh AB cho AE EF FB; S EFGH S ABCD G, H cạnh CD cho DH HG GC Chứng minh Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', Gọi H trực tâm tam giác HA ' HB ' HC ' a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC , IM , IN thứ tự phân giác AIC AIB Chứng minh AN BI CM BN IC AM AB BC CA 2 2 c) Chứng minh AA ' BB ' CC ' 4 Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương có tổng 19b3 a 19c b3 19a c 3 cb 5c ac 5a Chứng minh : ba 5b ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 1 1 P 1 5 9 13 2015 2019 d) Rút gọn biểu thức 1 1 P 1 5 9 13 2015 2019 1 1 1 1 5 5 5 2015 2015 2019 5 5 2019 2015 2015 2019 2019 2019 4 4 2 e) Tìm x, y, z biết : x y z xy xz yz 10 x y 34 0 2 Ta có : x y z xy xz yz 10 x y 34 0 x y z xy xz yz x 10 x 25 y y 0 2 x y z x y 3 0 x y z 0 x 0 y 0 x y z 8 Vậy x; y; z 5; 3;8 f) Tìm giá trị lớn nhỏ phân thức A Ta có 2 2 x 1 x 1 x x x x 1 A 1 1 0) x 2 x2 x 2 (vì x x 1 2 Vậy giá trị lớn A x 0 x 1 x 1 x2 2019 Ta có : x2 4x 4 x2 2 x 2 x 1 4x 1 A 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 (vì 2 x2 2 0) 1 0 x 2 x Vậy giá trị nhỏ A Bài (4,0 điểm) 1 1 c) Giải phương trình x 5x x x 12 x x 20 x 11x 30 15 ĐKXĐ: x 2, x 3, x 4, x 5, x 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 15 1 1 x x 3 x 3 x x x 5 x 5 x 15 1 15 x 15 x x x x x 15 x 4(tm) x x 48 0 x x 12 0 x 12(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 12; 4 d) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2019 cho đa thức x 10 x 21 Đặt M x x x x 8 2019 M x x x x 2019 x 10 x 16 x 10 x 24 2019 Đặt t x 10 x 21 M t t 3 2019 t 2t 2004 t t 2004 Với t 0 x 10 x 21 0 x 3, x M chia cho t dư 2004 Vậy x x x x 2019 chia cho x 10 x 21 dư 2004 Bài (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có E , F thuộc cạnh AB cho AE EF FB; S EFGH S ABCD G, H cạnh CD cho DH HG GC Chứng minh E F B A D H G C 1 1 S DAE S ABD , CG CD S BGC S BCD AE AB 3 3 Ta có nên S DAE S BCG 1 S ABD S BCD S ABCD S DEBG S ABCD 3 1 1 HG DG S EHG S DEG , EF EB S EFG S EBG 2 2 Ta có : S EHG S EFG 1 S DEG S EBG S DEBG S EFGH S ABCD S ABCD (dfcm) 2 3 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', Gọi H trực tâm tam giác A K B' C' H N B D M C A' I HA ' HB ' HC ' d) Tính tổng AA ' BB ' CC ' S HBC HA '.BC HA ' S HAC HB ' S HAB HC ' S ABC AA '.BC AA ' ; Ta có Tương tự S ABC BB ' S ABC CC ' HA ' HB ' HC ' S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC e) Gọi AI phân giác tam giác ABC , IM , IN thứ tự phân giác AIC AIB Chứng minh AN BI CM BN IC AM Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác vào tam giác ABC , ABI , ACI ta BI AB AN AI CM CI ; , có : IC AC NB BI MA IA BI AN CM AB AI CI AB CI AB AC CI AC 1 ) IC NB MA AC BI AI AC BI AC AB (Vì BI AB BI AN CM IC.NB.MA(dfcm) AB BC CA 2 2 f) Chứng minh AA ' BB ' CC ' 4 Kẻ Cx CC ', gọi D điểm đối xứng A qua Cx , suy CA CB Gọi K giao điểm Cx, AD Tứ giác AC ' CK có góc vng nên hình chữ nhật BAD 90 AK CC ' AD 2CC ' Ta có BD BC CD 2 BAD vuông A nên AB AD BD BC CD 2 AB 4CC '2 BC AC 4CC '2 BC AC AB 2 2 2 Tương tự ta có AA ' AB AC BC , BB ' AB BC AC AA '2 BB '2 CC '2 AB BC CA AB BC CA 2 AA '2 BB '2 CC '2 4 Dấu xảy AB BC CA hay tam giác ABC Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương có tổng 19b3 a 19c b3 19a c 3 cb 5c ac 5a Chứng minh : ba 5b Ta có : a b 0 a b ab ab a b a b ab ab a b a b3 ab a b a 20b3 19b3 ab a b 19b3 a 20b3 ab a b 19b3 a 5b 4b a ab 4b a 19b3 a 4b a 5b ab 19b3 a 4b a (do 5b ab 0) ab 5b 19c b3 19a c c b , 4a c ca 5a Tương tự : bc 5c 19b3 a 19c b3 19a c 4b a 4c b 4a c 3 a b c 3 ab 5b bc 5c ca 5a (vì a b c 1) Dấu xảy a b c ... y 3 0 x y z 0 x 0 y 0 x y z ? ?8 Vậy x; y; z 5; 3 ;8? ?? f) Tìm giá trị lớn nhỏ phân thức A Ta có 2 2 x 1 x 1 x x x... 5 x 15 1 15 x 15 x x x x x 15 x 4(tm) x x 48 0 x x 12 0 x 12(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 12; 4 d) Tìm... x x x 2019 cho đa thức x 10 x 21 Đặt M x x x x 8? ?? 2019 M x x x x 2019 x 10 x 16 x 10 x