031 đề hsg toán 8 hà trung 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của biểu thức b[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm)   x  1  x  x  x3  x P    : x  x  x  x  4x2     Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị biểu thức P biết x   0 c) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x3  x  b) a3  b3  c3  3abc 2) Xác định đa thức f  x  biết f  x  chia cho x  dư chia cho x  x  thương 5x Bài (5,0 điểm) k 1) Tìm số tự nhiên k để   số phương 2 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 1  x  x  x  x 2  x 3   x    x  9 0    6   x2   x2 3) Giải phương trình  x   Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB AC lấy điểm di động M N cho MON 60 Chứng minh : 1) OBM ∽ ONC từ suy tích BM CN không đổi 2) Các tia MO, NO tia phân giác BMN , CNM 3) Chu vi tam giác AMN không đổi Bài (1,0 điểm) 1) Cho a, b số không âm Chứng minh a  b 2 ab 2) Cho số x, y thỏa mãn x  y 0 Chứng minh : x  x  y   y 1 3 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm)   x  1  x  x  x3  x P    : x  x  x  x  4x2     Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P   x  1  x  x  x3  x P    :  x 0; x 1 x3  x   x  x  x   x  1    x  x2  x2  x 1  x  1  x  x  1 x2 x  x2  4  x3  3x  3x    x  x  x  x  4x2 x  x2  4  x  1  x  x  1  x3  x 4x  x  x 4 x 4 e) Tìm giá trị biểu thức P biết x   0 4.5 20  x 5(tm)  A     29  x  3 x   0       x 3  x  1(tm)  A    1      1   f) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn x2    x2  4x  4 x  1  4x P  1  1 x 4 x2  x 4 Vậy max P 1  x 1(ktm) Vậy P khơng có giá trị lớn Bài (4,0 điểm) 3) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x  x  x  x  x   x  x  1  x  1   x  1  x  1  x  x    x  1   x  3x    x     x  1  x    x   b) a  b3  c  3abc  a  b   c  3ab  a  b   3abc  a  b  c    a  b    a  b  c  c   3ab  a  b  c     a  b  c   a  b  2ab  ac  bc  c  3ab   a  b  c   a  b  c  ac  bc  ab  4) Xác định đa thức f  x  biết f  x  chia cho x  dư chia cho x  x  thương 5x Gọi A  x  , B  x  đa thức cho f  x   x  1 A  x   4, f  x   x   B  x    x   f  x   x    x  1 A  x    x    x  1 f  x   x  1  x   B  x   1 x  1 Khi    x   f  x   x    x  1  A  x   B  x    3x   f  x   x    x  1  A  x   B  x    3x   f  x   x  1  x   Theo chia A x  B  x   x    * f  x x  x   x  1  x   cho ta thương 5x nên A x  B  x 5 x * f  x   x  1  x   x  x   Khi trở thành : f  x  5 x  x  1  x    x  Vậy Bài (5,0 điểm) k 4) Tìm số tự nhiên k để   số phương k k Gọi a   cho   a   16  128 a  a  144 2k   a  12   a  12  2k m n Đặt a  12 2 , a  12 2  m  n  m  n k  2n  m a  12   a  12  24  2n  m 8.3  m  2n  m  1 23.3 m 3 m 3  m 3   n m    n 5 2  3 n  m 2 Do k n  m 5  8 k Vậy với k 8   số phương 2 5) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 1  x  x  x  x y 1  x  x  x  x  y 4 x  x  x  x   *  y  x  x  x   x  x  2  y  x  x   x  x   y  x  x    x  x    x 2  x  x    x   x  x   y  x  x   2 4  x  x  3  x  x     x  9  (Do 2x Do   x 2x  2  y 2 x  x   Nên  y 2 x  x   x  2 số phương Với y 2 x  x  thay vào (*) ta :  2x 2  x  1 4 x  x3  x  x   x  x   x  x  x 4 x  x  x  x   x  x  0  x  x  4   x  1 4  x  2  x 3  y 22  y 11      x    x   y 2  y 1 Với y 2 x  x  , thay vào (*) ta :  2x  x   4 x  x  x  x   x  x  x  x  x   x 4 x  x3  x  x   x 0  x 0  y 1 Vậy  x; y     0;1 ;   1;1 ;  3;11  thỏa mãn yêu cầu toán 2  x 3   x    x  9 0    6   x2   x2 6) Giải phương trình  x   2  x 3   x    x  9 0  x 2     6   x2   x 2  x2 2  x    x  3  x    x  3  x    x 3    6    0  x    x  2  x  2  x  2  x  2  x2 x 3  x 3 x 3  x 3  x 3 x 3        0 x 2 x x2 x 2 x x2  x  x    x   x  3      0  x2   x x2 x   x  x   x  x    x  x   x  18       0 x  x  x  x              10 x    x    x   0 10 x x  x  24  0     x  x  24  x  2  x  2  x  2  x  2 0   ( x  2)( x  2)  x 0(tmdk )   x  x  24 0( ktm) Vậy phương trình có tập nghiệm S  0 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB AC lấy điểm di động M N cho MON 60 Chứng minh : A N I M K H B O C 4) OBM ∽ ONC từ suy tích BM CN khơng đổi ABC  ABC BAC ACB 60 Lại có MON  MOB  NOC 180  MON  NOC 120 Mà MOB  OMB 180  60 120  NOC OMB Xét OBM ONC có : NOC OMB 60 , OMB NOC (cmt )  OBM ∽ ONC ( g g )  BM OB  OC NC 1 BC  BM CN OB.OC  BC BC  2 (không đổi) 5) Các tia MO, NO tia phân giác BMN , CNM OBM ∽ ONC (cmt )  Do Xét MBO MON có: MBO MON 60 , BM OB BM OC OB     OC NC OM ON ON (O trung điểm BC) BM OC   cmt  OM ON Do MBO ∽ MON  c.g c   BMC OMC (hai góc tương ứng) Hay MO đường phân giác BMN *Chứng minh ON phân giác CMN tương tự 6) Chu vi tam giác AMN không đổi Kẻ OH  AB  H  AB  , OK  AC  K  AC  , OI  MN  I  MN  Do O nằm tia phân giác BMN , MNC  OH OI OK , MH MI  MHO MIO  , NK NI  NKO NIO  Có : C AMN  AM  AN  MN  AM  AN  MI  IN  AM  AN  MH  NK  Do AH  AK  Chu vi AMN không đổi AH không đổi Bài (1,0 điểm) 3) Cho a, b số không âm Chứng minh a  b 2 ab Ta có a  b 2 ab   a  b  4ab  a; b 2   a  2ab  b2 0   a  b  0 (luôn đúng) Vậy a  b 2 ab a, b 0 4) Cho số x, y thỏa mãn x  y 0 Chứng minh : x  x  y   y 1 3 x  y  x  y 0    y 1  Do 4 A x   A  x  y     y  1  2  x  y   y  1  x  y   y  1 Đặt  A 2  x  y  x  y   y  1   y  1   x  y   y  1 4  x 2    x  y 0   y 1  y  1 4 Dấu xảy x 3 x  y   y  1  Vậy với x  y 0 Dấu xảy x 2, y 1 ... a  12   a  12  24  2n  m ? ?8. 3  m  2n  m  1 ? ?23. 3 m 3 m 3  m 3   n m    n 5 2  3 n  m 2 Do k n  m 5  ? ?8 k Vậy với k ? ?8   số phương 2 5) Tìm nghiệm nguyên... x   x  x   Khi trở thành : f  x  5 x  x  1  x    x  Vậy Bài (5,0 điểm) k 4) Tìm số tự nhiên k để   số phương k k Gọi a   cho   a   16  1 28 a  a  144 2k   a ... tích BM CN khơng đổi ABC  ABC BAC ACB 60 Lại có MON  MOB  NOC  180   MON  NOC 120 Mà MOB  OMB  180   60 120  NOC OMB Xét OBM ONC có : NOC OMB 60 , OMB NOC