Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của biểu thức b[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm) x 1 x x x3 x P : x x x x 4x2 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị biểu thức P biết x 0 c) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x3 x b) a3 b3 c3 3abc 2) Xác định đa thức f x biết f x chia cho x dư chia cho x x thương 5x Bài (5,0 điểm) k 1) Tìm số tự nhiên k để số phương 2 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 1 x x x x 2 x 3 x x 9 0 6 x2 x2 3) Giải phương trình x Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB AC lấy điểm di động M N cho MON 60 Chứng minh : 1) OBM ∽ ONC từ suy tích BM CN không đổi 2) Các tia MO, NO tia phân giác BMN , CNM 3) Chu vi tam giác AMN không đổi Bài (1,0 điểm) 1) Cho a, b số không âm Chứng minh a b 2 ab 2) Cho số x, y thỏa mãn x y 0 Chứng minh : x x y y 1 3 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x 1 x x x3 x P : x x x x 4x2 Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P x 1 x x x3 x P : x 0; x 1 x3 x x x x x 1 x x2 x2 x 1 x 1 x x 1 x2 x x2 4 x3 3x 3x x x x x 4x2 x x2 4 x 1 x x 1 x3 x 4x x x 4 x 4 e) Tìm giá trị biểu thức P biết x 0 4.5 20 x 5(tm) A 29 x 3 x 0 x 3 x 1(tm) A 1 1 f) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn x2 x2 4x 4 x 1 4x P 1 1 x 4 x2 x 4 Vậy max P 1 x 1(ktm) Vậy P khơng có giá trị lớn Bài (4,0 điểm) 3) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x x x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 3x x x 1 x x b) a b3 c 3abc a b c 3ab a b 3abc a b c a b a b c c 3ab a b c a b c a b 2ab ac bc c 3ab a b c a b c ac bc ab 4) Xác định đa thức f x biết f x chia cho x dư chia cho x x thương 5x Gọi A x , B x đa thức cho f x x 1 A x 4, f x x B x x f x x x 1 A x x x 1 f x x 1 x B x 1 x 1 Khi x f x x x 1 A x B x 3x f x x x 1 A x B x 3x f x x 1 x Theo chia A x B x x * f x x x x 1 x cho ta thương 5x nên A x B x 5 x * f x x 1 x x x Khi trở thành : f x 5 x x 1 x x Vậy Bài (5,0 điểm) k 4) Tìm số tự nhiên k để số phương k k Gọi a cho a 16 128 a a 144 2k a 12 a 12 2k m n Đặt a 12 2 , a 12 2 m n m n k 2n m a 12 a 12 24 2n m 8.3 m 2n m 1 23.3 m 3 m 3 m 3 n m n 5 2 3 n m 2 Do k n m 5 8 k Vậy với k 8 số phương 2 5) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 1 x x x x y 1 x x x x y 4 x x x x * y x x x x x 2 y x x x x y x x x x x 2 x x x x x y x x 2 4 x x 3 x x x 9 (Do 2x Do x 2x 2 y 2 x x Nên y 2 x x x 2 số phương Với y 2 x x thay vào (*) ta : 2x 2 x 1 4 x x3 x x x x x x x 4 x x x x x x 0 x x 4 x 1 4 x 2 x 3 y 22 y 11 x x y 2 y 1 Với y 2 x x , thay vào (*) ta : 2x x 4 x x x x x x x x x x 4 x x3 x x x 0 x 0 y 1 Vậy x; y 0;1 ; 1;1 ; 3;11 thỏa mãn yêu cầu toán 2 x 3 x x 9 0 6 x2 x2 6) Giải phương trình x 2 x 3 x x 9 0 x 2 6 x2 x 2 x2 2 x x 3 x x 3 x x 3 6 0 x x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 0 x 2 x x2 x 2 x x2 x x x x 3 0 x2 x x2 x x x x x x x x 18 0 x x x x 10 x x x 0 10 x x x 24 0 x x 24 x 2 x 2 x 2 x 2 0 ( x 2)( x 2) x 0(tmdk ) x x 24 0( ktm) Vậy phương trình có tập nghiệm S 0 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB AC lấy điểm di động M N cho MON 60 Chứng minh : A N I M K H B O C 4) OBM ∽ ONC từ suy tích BM CN khơng đổi ABC ABC BAC ACB 60 Lại có MON MOB NOC 180 MON NOC 120 Mà MOB OMB 180 60 120 NOC OMB Xét OBM ONC có : NOC OMB 60 , OMB NOC (cmt ) OBM ∽ ONC ( g g ) BM OB OC NC 1 BC BM CN OB.OC BC BC 2 (không đổi) 5) Các tia MO, NO tia phân giác BMN , CNM OBM ∽ ONC (cmt ) Do Xét MBO MON có: MBO MON 60 , BM OB BM OC OB OC NC OM ON ON (O trung điểm BC) BM OC cmt OM ON Do MBO ∽ MON c.g c BMC OMC (hai góc tương ứng) Hay MO đường phân giác BMN *Chứng minh ON phân giác CMN tương tự 6) Chu vi tam giác AMN không đổi Kẻ OH AB H AB , OK AC K AC , OI MN I MN Do O nằm tia phân giác BMN , MNC OH OI OK , MH MI MHO MIO , NK NI NKO NIO Có : C AMN AM AN MN AM AN MI IN AM AN MH NK Do AH AK Chu vi AMN không đổi AH không đổi Bài (1,0 điểm) 3) Cho a, b số không âm Chứng minh a b 2 ab Ta có a b 2 ab a b 4ab a; b 2 a 2ab b2 0 a b 0 (luôn đúng) Vậy a b 2 ab a, b 0 4) Cho số x, y thỏa mãn x y 0 Chứng minh : x x y y 1 3 x y x y 0 y 1 Do 4 A x A x y y 1 2 x y y 1 x y y 1 Đặt A 2 x y x y y 1 y 1 x y y 1 4 x 2 x y 0 y 1 y 1 4 Dấu xảy x 3 x y y 1 Vậy với x y 0 Dấu xảy x 2, y 1 ... a 12 a 12 24 2n m ? ?8. 3 m 2n m 1 ? ?23. 3 m 3 m 3 m 3 n m n 5 2 3 n m 2 Do k n m 5 ? ?8 k Vậy với k ? ?8 số phương 2 5) Tìm nghiệm nguyên... x x x Khi trở thành : f x 5 x x 1 x x Vậy Bài (5,0 điểm) k 4) Tìm số tự nhiên k để số phương k k Gọi a cho a 16 1 28 a a 144 2k a ... tích BM CN khơng đổi ABC ABC BAC ACB 60 Lại có MON MOB NOC 180 MON NOC 120 Mà MOB OMB 180 60 120 NOC OMB Xét OBM ONC có : NOC OMB 60 , OMB NOC